Inne, zadanie nr 225
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| ala9606 postów: 1 |  2011-11-13 20:50:26Na podwórku stały dwie jednakowe beczki o przekroju kołowym. Dwie mrówki stojące przy jednej z nich chciały je obiec najkrótszą drogą i wrócić do miejsca, z którego wyruszyły. Pierwsza pobiegła tak, że jej trasa tworzyła ,,ósemkę'', druga tak, że jej trasa nie przecinała się ze sobą. Stosunek długości dróg przebytych przez te mrówki po łukach okręgów jest równy 1,5. Ile jest równy stosunek długości dróg przebytych po odcinkach prostej? |
| irena postów: 2636 | 2011-11-14 11:57:54 O, P- środki okręgów (dna beczek), obu o promieniu r S- środek odcinka OP. K, M- - punkty okręgu o środku O L, N - punkty okręgu o środku P takie, że |KL|=|MN|=|OP|, odcinki KM i LN są średnicami prostopadłymi do OP KL i MN to odcinki stycznych do obu okręgów - odcinki prostych, po których biegła druga mrówka Proste AB i CD to styczne do obu okręgów przechodzące przez punkt S. A, C to punkty styczności z okręgiem o środku O B, D to punkty styczności z okręgiem o środku P. AB i CD to odcinki prostych, po których biegła pierwsza mrówka. Pierwsza mrówka pokonała po okręgach łuki KM i LN - połowy okręgów oraz 4 równej długości łuki KA, MC, LD i NB (czyli $2\pi r+4l$). Druga mrówka pokonała po okręgach tylko 2 półokręgi - łuk KM i łuk LN (czyli drogę równą $2\pi r$). Ponieważ stosunek dróg po okręgu obu mrówek wynosi 1,5, więc $\frac{2\pi r+4l}{2\pi r}=1,5$ $2\pi r+4l=3\pi r$ $4l=\pi r$ $l=\frac{1}{4}\pi r=\frac{1}{8}\cdot2\pi r$ Każdy z łuków dodatkowych to ósma część okręgu. Wynika stąd, że kąt środkowy KOA ma miarę $45^0$, czyli kąt środkowy AOC to kąt prosty. Trójkąt AOC to równoramienny trójkąt prostokątny. Stąd - trójkąt AOS to również równoramienny trójkąt prostokątny. Zatem |OA|=|AS|=r, $|OS|=|OP|=r\sqrt{2}$ $|KL|=|MN|=|OP|=2r\sqrt{2}$. Pierwsza mrówka po odcinkach prostej pokonała więc drogę o długości 4r, a druga drogę o długości $4r\sqrt{2}$ Stosunek dróg przebytych po odcinkach prostych jest więc równy: $\frac{4r}{4r\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj