Inne, zadanie nr 339
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| adenozynon postów: 10 |  2012-02-06 13:08:54Wykaż, ze jeśli a, b i m są liczbami dodatnimi, to $(1+\frac{a}{b})^{m}+(1+\frac{b}{a})^{m}\ge 2^{m+1}$ |
| pm12 postów: 493 | 2012-02-06 17:51:20 Równość zachodzi wtedy, gdy mamy taką trójkę liczb (a,b,m), że a=b=m. Zajmijmy się przypadkiem, gdy liczby a,b,m nie są sobie równe. Rozpiszmy lewą stronę za pomocą dwumianu Newtona. Otrzymujemy ${m \choose 0}$*1 + ${m \choose 1}$*$(\frac{a}{b})$ + ${m \choose 2}$*$(\frac{a^2}{b^2})$ + $\cdots$ + ${m \choose m}$*$(\frac{a^m}{b^m})$ + ${m \choose 0}$*1 + ${m \choose 1}$*$(\frac{b}{a})$ + ${m \choose 2}$*$(\frac{b^2}{a^2})$ + $\cdots$ + + ${m \choose m}$*$(\frac{b^m}{a^m})$ $\ge$$2^{m+1}$ Uporządkujmy teraz odpowiednio wyrazy (tzn. wyrazy mające ten sam symbol Newtona). Otrzymujemy ${m \choose 0}$*2 + ${m \choose 1}$*($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) + ${m \choose 2}$*($\frac{a^2}{b^2}$ + $\frac{b^2}{a^2}$) + $\cdots$ + ${m \choose m}$*($\frac{a^m}{b^m}$ + $\frac{b^m}{a^m}$) $\ge$ $2^{m+1}$ Dla m naturalnego dodatniego suma postaci ($\frac{a^m}{b^m}$ + $\frac{b^m}{a^m}$) jest większa bądź równa 2 (równa dla a=b). Udowodnijmy to. Mamy więc ($\frac{a^m}{b^m}$ + $\frac{b^m}{a^m}$) $\ge$ 2 Po doprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy $\frac{a^(2m) + b^(2m)}{a^m*b^m}$ $\ge$ 2 (mamy tu liczby a oraz b podniesione do potęgi 2m) Po pomnożeniu stronami przez mianownik i przeniesieniu prawej strony na lewą nierówności mamy $a^{2m}$ - 2*$a^{m}$*$b^{m}$ + $b^{2m}$ $\ge$ 0 , czyli $(a^m - b^m)^{2}$ $\ge$ 0 , co jest prawdą. Tak więc, nie licząc pierwszego wyrazu sumy, wszystkie następne są większe od 2 (pomijając przypadek, że a=b, bo wtedy może zajść równość, jednak tylko w ostatnim wyrazie), gdyż suma ($\frac{a^m}{b^m}$ + $\frac{b^m}{a^m}$) dla m naturalnego dodatniego (pomijając równość a=b) jest większy od 2 oraz symbole Newtona, poza ostatnim. Tak więc nierówność wyjściowa jest spełniona, bo wyrazów sumy po lewej stronie nierówności jest m+1. |
| agus postów: 2387 | 2012-02-06 21:14:52 Bez dwumianu Newtona: $(1+\frac{a}{b})^{m}$+$(1+\frac{b}{a})^{m}$= =$(\frac{a+b}{b})^{m}$+$(\frac{a+b}{a})^{m}$= =$\frac{(a+b)^{m}}{b^{m}}$+$\frac{(a+b)^{m}}{a^{m}}$= =$\frac{a^{m}(a+b)^{m}+b^{m}(a+b)^{m}}{a^{m}b^{m}}$= =$\frac{(a+b)^{m}(a^{m}+b^{m})}{a^{m}b^{m}}$ zakładając,że a$\ge$b $\ge$$\frac{(b+b)^{m}(b^{m}+b^{m})}{b^{m}b^{m}}$= =$\frac{2^{m}b^{m}\cdot2b^{m}}{b^{m}b^{m}}$= =$2^{m}\cdot2$=$2^{m+1}$ Uwaga:Nie ma znaczenia, czy założymy a$\ge$b, czy b$\ge$a, dojdziemy do tej samej nierówności. Wiadomość była modyfikowana 2012-02-06 21:18:12 przez agus |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj