logowanie

matematyka » forum » gimnazjum » temat

Geometria, zadanie nr 381

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

Szymon
postów: 657
2012-02-23 17:14:27

Czworokąt ABCD, w którym |AB| = 1dm, |BC| = 2dm, |CD| = 3dm , jest wpisany w okrąg i jego przekątne są prostopadłe. Oblicz pole tego czworokąta.


irena
postów: 2636
2012-02-23 18:38:41

P- punkt przecięcia przekątnych czworokąta
|AP|=a, |BP|=b, |CP|=c, |DP|=d

Kąty: BAC i BDC to kąty równe (wpisane oparte na tym samym łuku)
Stąd- trójkąty prostokątne ABP i CDP są podobne.
Ponieważ |CD|=3 i |AB|=1, czyli skala podobieństwa trójkąta CDP do ABP jest równa 3.
Stąd:
|PD|=3a i |PC|=3b

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCP:
$b^2+(3b)^2=2^2$
$10b^2=4$
$b^2=\frac{2}{5}$

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABP:
$a^2+b^2=1$

$a^2=\frac{3}{5}$

$a^2b^2=\frac{6}{25}$
$ab=\frac{\sqrt{6}}{5}$

Pole czworokąta (suma pól czterech trójkątów, na które przekątne dzielą czworokąt):
$P=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a\cdot3a+\frac{1}{2}b\cdot3b+\frac{1}{2}\cdot3a\cdot3b=\frac{3}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2+5ab=\frac{3+\sqrt{6}}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj