Liczby całkowite, zadanie nr 394

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aididas postów: 279	2012-03-09 22:06:58 Wykaż, że jeśli k$\in$C, to $\frac{k^5}{120}-\frac{k^3}{24}+\frac{k}{30}\in$C Wiadomość była modyfikowana 2012-03-09 22:51:01 przez aididas

irena postów: 2636	2012-03-09 23:46:22 $\frac{k^5}{120}-\frac{k^3}{24}+\frac{k}{30}=\frac{k^5-5k^3+4k}{120}$ Pokażę, że licznik ułamka jest liczbą całkowitą, podzielną przez 120: $k^5-5k^3+4k=k(k^4-5k^2+4)=k(k^2-1)(k^2-4)=(k-2)(k-1)\cdot k(k+1)(k+2)$ Masz tu iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych. Wśród pięciu kolejnych liczb całkowitych są co najmniej dwie parzyste, w tym co najmniej jedna podzielna przez 4. iloczyn jest więc na pewno podzielny przez 8. Wśród kolejnych pięciu liczb całkowitych jest też co najmniej jedna podzielna przez 3 i jedna podzielna przez 5. Ich iloczyn dzieli się więc przez 15. Iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych dzieli się więc przez $8\cdot15=120$ Licznik ułamka jest liczba całkowita podzielną przez 120, więc ułamek jest liczbą całkowitą.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj