Liczby całkowite, zadanie nr 473

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
Szymon postów: 657	2012-09-16 17:28:31 1. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych które spełniają równiania : 1) xy = x+2y 2) xy = 3x+5y+7 3) 3xy-x+2y = 1 4) 2xy = x+y 2. Dana jest liczba pierwsza p. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniających równanie : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{p}$

irena postów: 2636	2012-09-16 19:28:08 1) $xy=x+2y$ $xy-2y=x$ $y(x-2)=x$ $x\neq2$ $y=\frac{x}{x-2}$ Liczba x nie może być ujemna (nie byłaby podzielna przez liczbę x-2) Liczba x ma dzielić się przez liczbę o 2 mniejszą. Jest to możliwe, jeśli x=0 x=1 x=3 x=4 Czyli są to pary liczb: (0, 0), (1, -1), (3, 3), (4, 2) Można też tak $y=\frac{x}{x-2}=\frac{x-2+2}{x-2}=\frac{2}{x-2}+1$ czyli liczba x-2 musi dzielić liczbę 2, i tu masz x-2=1, więc x=3 x-2=-1, więc x=1 x-2=2, więc x=4 x-2=-2, więc x=0 Wiadomość była modyfikowana 2012-09-16 19:47:48 przez irena

irena postów: 2636	2012-09-16 19:37:11 2) $xy-5y=3x+7$ $y(x-5)=3x+7$ $x\neq5$ $y=\frac{3x+7}{x-5}=\frac{3x-15+22}{x-5}=3+\frac{22}{x-5}$ Liczba x-5 musi być całkowitym dzielnikiem liczby 22, czyli: x-5=1, x=6, y=25; (6, 25) x-5=-1, x=4, y=-19; (4, -19) x-5=2, x=7, y=14; (7, 14) x-5=-2, x=3, y=-8; (3, -8) x-5=11, x=16, y=5; (16, 5) x-5=-11, x=-6, y=1; (-6, 1) x-5=22, x=27, y=4 ; (27, 4) x-5=-22, x=-17, y=2; (-17, 2) Wiadomość była modyfikowana 2012-09-16 20:02:10 przez irena

tumor postów: 8070	2012-09-16 19:46:12 Ireno, popraw, bo widzę błędy. :) 2. Jeśli sprowadzimy do wspólnego mianownika i wymnożymy na krzyż, dostaniemy $p(x+y)=xy$ Czyli $p$ jest dzielnikiem $x$ lub dzielnikiem $y$ (co nieistotne, bo przykład jest symetryczny ze względu na niewiadome). Niech zatem $p$ będzie dzielnikiem $x$, czyli $x=kp$ $p(kp+y)=kpy$ $kp+y=ky$ $y=\frac{kp}{k-1}$ W takim razie $k-1$ dzieli $kp$, czyli $k-1$ dzieli $p$. Zatem $k-1=\pm1$ lub $k-1=\pm p$ $k\in\{0;2;p+1;-p+1\}$ Zatem $x \in \{0;2p;(p+1)p;(1-p)p\}$, $y$ to odpowiednio $0; 2p;p+1;p-1$ Parę $(0;0)$ odrzucamy, by nie dzielić przez $0$.

irena postów: 2636	2012-09-17 14:30:08 4. $2xy=x+y$ $2xy-y=x$ $y(2x-1)=x$ $y=\frac{x}{2x-1}$ Pary liczb całkowitych spełniających to równanie to: $\left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=0 \end{matrix}\right.$ oraz $\left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=1 \end{matrix}\right.$ Wiadomość była modyfikowana 2012-09-17 14:31:36 przez irena

irena postów: 2636	2012-09-17 14:33:27 3. $3xy-x+2y=1$ $y(3x+2)=x+1$ $y=\frac{x+1}{3x+2}$ Jedyna para liczb całkowitych spełniająca to równanie to para $\left\{\begin{matrix} x=-1 \\ y=0 \end{matrix}\right.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj