logowanie

matematyka » forum » gimnazjum » temat

Liczby naturalne, zadanie nr 607

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

baster2
postów: 1
2013-06-04 12:23:01

Z trójkąta równobocznego o boku 1 odcięto trzy narożne trójkąty równoboczne o bokach a, b, c, otrzymując sześciokąt równokątny. Wykaż, że suma długości jego głównych przekątnych jest nie mniejsza od 3-(a+b+c).

UWAGA!!! Nie każdy sześciokąt równokątny jest sześciokątem foremnym. Tutaj chodzi właśnie o sześciokąt równokątny, który nie jest foremny. W rozwiązaniu zadania należy rozpatrzyć rzuty prostokątne głównych przekątnych sześciokąta na odpowiednie boki danego trójkąta równobocznego.


airi
postów: 14
2013-09-28 16:40:37

a+b+c+1-a-b+1-b-c+1-c-a=3-a-b-c
Obwód danego sześciokąta równokątnego jest równy 3-(a+b+c). Wystarczy więc udowodnić, że suma głównych przekątnych jest nie mniejsza od obwodu.
Rzut prostokątny odcinka na płaszczyznę jest zawsze mniejszy lub równy długości odcinka.
Nazwijmy duży trójkąt literami PRQ, a sześciokąt ABCDEF
Zaznaczmy zatem rzut prostokątny przekątnej AD i oznaczmy go jako A'D'. Odcinki DD' i AA' są wysokościami odpowiednich trójkątów równobocznych, więc jeden z końców rzutu to środek odcinka CQ, a drugi PB.
A'D'= 1-0,5a-0,5b
Analogicznie możemy dowieść, że C'F'=1-0,5b-0,5c
E'B'=1-0,5a-0,5c

AD+CF+EB>A'D'+C'F'+E'B'=3-(a+b+c)
Co kończy nasz dowód

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj