Liczby naturalne, zadanie nr 607
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
baster2 postów: 1 | 2013-06-04 12:23:01 Z trójkąta równobocznego o boku 1 odcięto trzy narożne trójkąty równoboczne o bokach a, b, c, otrzymując sześciokąt równokątny. Wykaż, że suma długości jego głównych przekątnych jest nie mniejsza od 3-(a+b+c). UWAGA!!! Nie każdy sześciokąt równokątny jest sześciokątem foremnym. Tutaj chodzi właśnie o sześciokąt równokątny, który nie jest foremny. W rozwiązaniu zadania należy rozpatrzyć rzuty prostokątne głównych przekątnych sześciokąta na odpowiednie boki danego trójkąta równobocznego. |
airi postów: 14 | 2013-09-28 16:40:37 a+b+c+1-a-b+1-b-c+1-c-a=3-a-b-c Obwód danego sześciokąta równokątnego jest równy 3-(a+b+c). Wystarczy więc udowodnić, że suma głównych przekątnych jest nie mniejsza od obwodu. Rzut prostokątny odcinka na płaszczyznę jest zawsze mniejszy lub równy długości odcinka. Nazwijmy duży trójkąt literami PRQ, a sześciokąt ABCDEF Zaznaczmy zatem rzut prostokątny przekątnej AD i oznaczmy go jako A'D'. Odcinki DD' i AA' są wysokościami odpowiednich trójkątów równobocznych, więc jeden z końców rzutu to środek odcinka CQ, a drugi PB. A'D'= 1-0,5a-0,5b Analogicznie możemy dowieść, że C'F'=1-0,5b-0,5c E'B'=1-0,5a-0,5c AD+CF+EB>A'D'+C'F'+E'B'=3-(a+b+c) Co kończy nasz dowód |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj