logowanie

matematyka » forum » gimnazjum » temat

Równania, zadanie nr 743

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

rafal
postów: 254
2014-12-19 20:10:38

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x, y, z zachodzi nierówność
$\frac{x\times y}{z}+\frac{y\times z}{x}+\frac{z\times x}{y}\ge x+y+z$


kebab
postów: 106
2014-12-19 23:22:28

$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge x+y+z$
$x\cdot \left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2 \right)+y\cdot \left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-2 \right)+z\cdot \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 \right)\ge 0$
$\frac{x}{y z}\cdot (y-z)^2+\frac{y}{x z}\cdot (z-x)^2+\frac{z}{x y}\cdot (x-y)^2\ge 0$

Wiadomość była modyfikowana 2014-12-19 23:59:50 przez kebab

rafal
postów: 254
2014-12-20 20:17:25

Mógłbyś mi to wytłumaczyć i czy jesteś pewien tego rozwiązania?


kebab
postów: 106
2014-12-20 22:42:42

To jest na pewno dobrze, bo te trzy nierówności są sobie równoważne a ostatnia jest oczywiście prawdziwa (bo $x,y,z>0$).

OK, to po kolei:

najpierw mnożymy stronami wyjściową nierówność przez 2
$2\cdot \frac{xy}{z}+2\cdot \frac{yz}{x}+2\cdot \frac{zx}{y}\ge 2x+2y+2z$

następnie przenosimy wszystko na lewą stronę i grupujemy wyrazy
$\left( \frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}-2x \right) + \left( \frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}-2y \right) + \left( \frac{zx}{y}+\frac{yz}{x}-2z \right)\ge 0$
$x\cdot \left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2 \right)+y\cdot \left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-2 \right)+z\cdot \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 \right)\ge 0$

i dalej już łatwo
$x\cdot \left(\frac{y^2+z^2-2yz}{yz} \right)+y\cdot \left(\frac{z^2+x^2-2zx}{zx} \right)+z\cdot \left(\frac{x^2+y^2-2xy}{xy} \right)\ge 0$
$\frac{x}{yz}\cdot (y-z)^2+\frac{y}{zx}\cdot (z-x)^2+\frac{z}{xy}\cdot (x-y)^2\ge 0$



rafal
postów: 254
2014-12-21 12:56:59

Wielki dzięki. Już rozumiem, nie wiedziałem jak przekształciłeś tą nierówność do 2 linijki.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj