logowanie

matematyka » forum » gimnazjum » temat

Geometria, zadanie nr 930

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

onenick
postów: 11
2015-11-01 19:30:16

W trójkącie prostokątnym ABC punkt D należy do przeciwprostokątnej AB. Przez punk D przechodzą proste k i l; prosta k jest prostopadła do boku BC w punkcie K, prosta l- prostopadła do boku AC w punkcie L. Wyznacz na boku AB takie położenie punktu D, aby długość odcinka KL była najmniejsza. Uzasadnij dokonany wybór punktu D.



rockstein
postów: 33
2015-12-10 16:09:38

Z warunków zadania wynika, że proste k, l oraz ramiona kąta prostego przy wierzchołku C tworzą prostokąt DKCL. Odcinek KL jest jego przekątną o długości takiej samej jak druga przekątna CD. Spośród wszystkich przekątnych CD, zaczepionych w punkcie C, których drugi punkt "ślizga" się po przeciwprostokątnej AB, najkrótsza jest wysokość trójkąta ABC, opuszczona z C na bok AB.

Zadanie można rozwiązać rachunkowo, wprowadzając jako zmienną np. odległość x punktu D od wierzchołka A. Wówczas w wyniku łatwych rachunków szukana długość odcinka KL=CD=p, wynosi:
p^2=[x-(b^2)/c]^2+(b^2)*(a^2)/(c^2).
Wyrażenie to jest zawsze dodatnie, zaś przyjmuje wartość najmniejszą, gdy wartość nawiasu kwadratowego wynosi zero, dla x=(b^2)/c. Wówczas p=a*b/c.

Wynik ten uzyskuje się momentalnie jako wniosek z rozumowania przytoczonego na wstępie, przez porównanie pola trójkąta ABC obliczanego dwojako: jako połowy iloczynu długości przyprostokątnych oraz jako połowy iloczynu długości przeciwprostokątnej z długością wysokości opuszczonej z wierzchołka C na przeciwprostokątną.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 110 drukuj