Geometria, zadanie nr 932
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
onenick postów: 11 | 2015-11-01 20:12:10 W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków AB=6,BC=AC=9. W trójkąt ten wpisano okrąg. Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu do boków trójkąta ABC. |
rockstein postów: 33 | 2015-12-12 11:36:21 Na wstępie przepraszam, że rozwiązanie będzie bez rysunku, lecz opis tego trójkąta i jego wyróżnionych punktów, pozwoli każdemu na samodzielne wykonanie szkicu i śledzenie rozumowania. Podstawa trójkąta AB=6, środek podstawy to punkt D, zarazem punkt styczności z okręgiem wpisanym. Ramiona trójkąta AC=BC=9, odpowiednio punkty E i F są punktami styczności tych ramion z okręgiem wpisanym. Punkt G leży na przecięciu wysokości CD i odcinka EF. Punkt O to środek okręgu wpisanego. Z warunków zadania wynika: AD=DB=AE=BF=3, zatem CE=CF=6. Ponadto OD=OE=OF oraz DE=DF CD=SQR(AC^2-AD^2)=SQR(72)=6*[2^(1/2)] Z tw. Talesa dla trójkątów CEF i ABC: EF/CE=AB/AC, stąd EF=6*6/9=4, oczywiście EG=GF=2 Z tw. Talesa dla trójkątów CEG i CAD: CG/EG=CD/AD, zatem CG=2*6*[2^(1/2)]/3=4*[2^(1/2)], więc GD=CD-CG=2*[2^(1/2)] (Zamiast dwukrotnie stosować twierdzenie Talesa, wystarczy zauważyć, że trójkąty ACD i ECG są podobne w stosunku 3/2). ED^2=EG^2+GD^2=2^2+{2*[2^(1/2)]}^2=12, zatem ED=2*[3^(1/2)] Szukany obwód trójkąta DEF wynosi: 2*p=EF+FD+DE=4+2*{2*[3^(1/2)]}= 4*[1+3^(1/2)] |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj