logowanie

matematyka » forum » gimnazjum » temat

Geometria, zadanie nr 932

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

onenick
postów: 11
2015-11-01 20:12:10

W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków AB=6,BC=AC=9. W trójkąt ten wpisano okrąg. Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu do boków trójkąta ABC.



rockstein
postów: 33
2015-12-12 11:36:21

Na wstępie przepraszam, że rozwiązanie będzie bez rysunku, lecz opis tego trójkąta i jego wyróżnionych punktów, pozwoli każdemu na samodzielne wykonanie szkicu i śledzenie rozumowania.

Podstawa trójkąta AB=6, środek podstawy to punkt D, zarazem punkt styczności z okręgiem wpisanym.
Ramiona trójkąta AC=BC=9, odpowiednio punkty E i F są punktami styczności tych ramion z okręgiem wpisanym. Punkt G leży na przecięciu wysokości CD i odcinka EF.
Punkt O to środek okręgu wpisanego.

Z warunków zadania wynika:
AD=DB=AE=BF=3, zatem CE=CF=6. Ponadto OD=OE=OF oraz DE=DF
CD=SQR(AC^2-AD^2)=SQR(72)=6*[2^(1/2)]

Z tw. Talesa dla trójkątów CEF i ABC:
EF/CE=AB/AC, stąd EF=6*6/9=4, oczywiście EG=GF=2

Z tw. Talesa dla trójkątów CEG i CAD:
CG/EG=CD/AD, zatem CG=2*6*[2^(1/2)]/3=4*[2^(1/2)], więc
GD=CD-CG=2*[2^(1/2)]

(Zamiast dwukrotnie stosować twierdzenie Talesa, wystarczy zauważyć, że trójkąty ACD i ECG są podobne w stosunku 3/2).

ED^2=EG^2+GD^2=2^2+{2*[2^(1/2)]}^2=12, zatem ED=2*[3^(1/2)]

Szukany obwód trójkąta DEF wynosi:
2*p=EF+FD+DE=4+2*{2*[3^(1/2)]}= 4*[1+3^(1/2)]






strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 79 drukuj