Liga Zadaniowa - Rozwiązania
Zadanie
Objętość prostopadłościanu wynosi 8000 cm3, a pole powierzchni całkowitej 3120 cm2. Jaka jest suma trzech wymiarów prostopadłościanu (w metrach), jeśli tworzą one postęp geometryczny?
Rozwiązanie
Oznaczając długości krawędzi odpowiednio przez a1, a2, a3, otrzymujemy z pierwszego warunku zadania równanie a1 · a2 · a3 = 8000, a z drugiego warunku zadania mamy 2a1a2 + 2a1a3 + 2a2a3 = 3120. Ponadto liczby a1, a2, a3 tworzą ciąg geometryczny, a więc a2 = a1q oraz a3 = a1q2. Mamy układ czterech równań z czterema niewiadomymi.
a1 · a2 · a3 = 8000
a1a2 + a1a3 + a2a3 = 1560
a2 = a1q
a3 = a1q2
Z układu tego otrzymujemy, że wymiary prostopadłościanu wynoszą 8 cm, 20 cm i 50 cm, a q = 2,5 lub q = 0,4.
Suma długości trzech wymiarów wynosi 0,78 m.