Zadanie Lwa Tołstoja

Zespół kosiarzy zamierzał skosić dwie łąki - jedna z nich miała powierzchnię dwa razy większą od drugiej. Przez pół dnia wszyscy kosiarze kosili trawę na pierwszej łące, potem połowa zespołu przeniosła się na mniejszą łąkę, a druga połowa do końca dnia dokończyła koszenie trawy na łące większej. Resztę nieskoszonej małej łąki przez jeden dzień skosił jeden kosiarz. Ilu kosiarzy liczył ten zespół?

Rozwiązanie zadania

Niech x oznacza liczbę kosiarzy, a y - powierzchnieę łąki skoszonej przez jednego kosiarza w ciągu jednego dnia. Większą łąkę kosiło x kosiarzy przez pół dnia i skosili oni powierzchnię równą $x \cdot \frac{1}{2} y = \frac{x y}{2}$ .
Drugą połowę dnia łąkę kosiło $\frac{1}{2} x$ kosiarzy i skosili oni $\frac{1}{2} x \cdot \frac{1}{2} y = \frac{x y}{4}$ .
Łąka została skoszona, więc jej powierzchnia równa jest $\frac{x y}{2} + \frac{x y}{4} = \frac{3 x y}{4}$ .
Powierzchnie małej łąki liczymy analogicznie. Pierwszego dnia skoszono powierzchnię równą $\frac{x}{2} \cdot \frac{y}{2} = \frac{x y}{4}$ , a drugiego dnia jeden kosiarz skosił powierzchnię łąki równą y. Powierzchnia małej łąki wynosiła $\frac{x y}{4} + y = \frac{x y + 4 y}{4}$ .
Powierzchnia większej łąki była dwa razy większa niż powierzchnia małej łąki, zatem $\frac{3 x y}{4} : \frac{x y + 4 y}{4} = 2$ .
$\frac{3 x}{x + 4} = 2$ , stąd x = 8.
Zespół kosiarzy składał się z ośmiu osób.

Zadanie Lwa Tołstoja

Matematyka