Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań
$\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ ,
gdzie a₁, a₂, b₁, b₂ c₁, c₂ są dowolnymi liczbami przy czym a₁ i a₂ oraz b₁ i b₂ nie mogą być jednocześnie zerami nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może:
- mieć dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb (układ oznaczony),
- mieć nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony),
- nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny).

Interpretacja geometryczna układu równań liniowych.
Dla układu oznaczonego rozwiązaniem są współrzędne punktu przecięcia prostych o podanych równaniach,
Dla układu nieoznaczonego proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (proste te się pokrywają)
Dla układu sprzecznego proste nie mają punktów wspólnych (są równoległe i rozłączne).

Metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Niech będzie dany układ równań $\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$

Metoda podstawiania
Metoda polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań układu i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Uzyskujemy w ten sposób równanie liniowe z jedną niewiadomą. Wyznaczoną z tego równania niewiadomą podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy wartość drugiej niewiadomej.

Metoda przeciwnych współczynników
Metoda ta polega na pomnożeniu równań układu przez odpowiednio dobrane liczby, tak aby po dodaniu równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą.

Metoda graficzna
Metoda ta polega na wykreśleniu w prostokątnym układzie współrzędnych wykresu (linii prostej) każdego równania układu i odczytaniu współrzędnych punktów wspólnych dla obu prostych.
Jeżeli dwie proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych, to układ równań nie ma rozwiązania, jeżeli natomiast równania układu opisują tę samą prostą, to rozwiązaniem układu równań są współrzędne wszystkich punktów należących do tej prostej - jest ich nieskończenie wiele.

Metoda wyznaczników
Metoda wyznaczników polega na wyznaczeniu tzw. wyznaczników i na podstawie ich wartości przeprowadzeniu analizy rozwiązań układu równań.

Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywamy wyznacznikiem głównym i oznaczamy przez W.
$W = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = a_{1} \cdot b_{2} - b_{1} \cdot a_{2}$
W podobny sposób wyliczamy wyznaczniki pomocnicze W_x i W_y, w których kolumnę współczynników przy niewiadomych zastępujemy odpowiednio przez kolumnę wyrazów wolnych:
$W_{x} = | \begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix} | = c_{1} \cdot b_{2} - b_{1} \cdot c_{2}$
$W_{y} = | \begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix} | = a_{1} \cdot c_{2} - c_{1} \cdot a_{2}$

Analiza otrzymanych rozwiązań:

Jeżeli W ≠ 0, to układ równań jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie:
$x = \frac{W_{x}}{W}$ $y = \frac{W_{y}}{W}$ .

Jeżeli W = 0 oraz W_x ≠ 0 lub W_y ≠ 0, to układ równań jest sprzeczny.

Jeżeli W = 0 i W_x = 0 i W_y = 0, to układ równań jest nieoznaczony.