Rozwinięcie dziesiętne skończone i nieskończone

Rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej albo jest skończone, albo zawiera okresowo powtarzający się ciąg cyfr, choć czasem jest to całkiem spory ciąg.

Rozwinięcie dziesiętne skończone, to postać dziesiętna ułamka zwykłego, którego można rozszerzyć lub skrócić tak, aby jego mianownikiem była jedna z potęg liczby 10. I tak na przykład:
$\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$
$\frac{3}{8} = \frac{375}{1000} = 0,375$
$\frac{13}{25} = \frac{52}{100} = 0,52$

Liczby wymierne dopuszczają dziesiętne rozwinięcie okresowe: podział licznika przez mianownik daje w wyniku takie same cyfry w identycznym porządku. Takie nieskończone rozwinięcie dziesiętne nazywamy rozwinięciem okresowym. Powtarzającą się cyklicznie grupę cyfr nazywamy okresem. W zapisie rozwinięcia okres wyróżniamy nawiasem:
$\frac{1}{3} = 0,3333... = 0,(3)$
$\frac{9}{11} = 0,8181... = 0,(81)$
$\frac{7}{15} = 0,466... = 0,4(6)$

Inaczej dzieje się w przypadku liczb niewymiernych. Żadna liczba niewymierna nie może zostać zapisana za pomocą dziesiętnego rozwinięcia okresowego. Ta niemożność wyrażnie ukazuje zasadniczą różnicę między liczbami wymiernymi a niewymiernymi.

Kiedy liczbę wymierną można przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego?

Liczbę można zapisać w postaci skończonego ułamka dziesiętnego wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą wymierną i w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze, występuje tylko liczba 2 lub 5.

Rozwinięcie dziesiętne skończone i nieskończone

Matematyka