logowanie

matematyka » algebra » kombinatoryka » symbol Newtona

Symbol Newtona

Dla liczb naturalnych spełniających warunki $0 \le k \le n$ definiujemy funkcję:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$
Symbol $\binom{n}{k}$ nazywamy symbolem Newtona i czytamy n nad k lub n po k lub też k z n.

Podstawowe własności
$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$
$\binom{n}{k} + \binom{n}{n + k} = \binom{n + 1 }{k + 1}$   dla $k = 0, 1, \ldots , n-1$

Wartości liczbowe symbolu Newtona można zapisać w postaci trójkąta Pascala.

      0                     1
      1                   1   1
      2                 1   2   1
      3               1   3   3   1
      4             1   4   6   4   1
      5           1   5   10  10  5   1
      6         1   6   15  20  15  6   1
      7       1   7   21  35  35  21  7   1
            . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kolejnym wierszom trójkąta odpowiadają kolejne wartości $n$, kolejnym wyrazom w każdym wierszu - wartości $k$. Zgodnie z własnościami każdy wiersz zaczyna się i kończy liczbą $1$, a każda liczba wewnątrz wiersza jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią.


Wartość symbolu Newtona można obliczyć korzystając ze wzoru iteracyjnego: $\binom{n}{k} = \frac{n(n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k}$
Jest to prostsza, a zarazem szybka metoda obliczania wartości symbolu Newtona.


Oblicz wartość symbolu Newtona

$n =$     $k =$    





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 128 drukuj