Usuwanie niewymierności z mianownika

Ułamek, w którym mianownik jest liczbą niewymierną, wygodnie jest przekształcić tak, aby w mianowniku znalazła się liczba całkowita. Takie przekształecnie nazywamy usuwaniem niewymierności z mianownika. Należy pamiętać o tym, że przekształcenie to nie zmienia wartości liczby, jest to dalej ta sama liczba, ale zapisana inaczej.

Aby usunąć niewymierność z mianownika, należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez taki czynnik, który da w mianowniku liczbę całkowitą.

Przykłady
23=23·1=23·33=233 (zauważ, że 1=33 )
W powyższym przykładzie w mianowniku jest liczba niewymierna 3. Aby pozbyć się niewymierności, mnożymy licznik i mianownik przez taką samą liczbę niewymierną, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną. W naszym przypadku mnożymy licznik i mianownik przez 3. W wyniku takiego mnożenia, które nie zmienia wartości naszej liczby, otrzymujemy w mianowniku liczbę wymierną 3.

325=325·55=352·5=3510
23+143=23+143·33=(23+1)·34·3=6+312
22=22·22=222=2
143=143·2323=2383=232


Jeżeli w mianowniku mamy sumę lub różnicę, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
(a+b)(a-b)=a2-b2.

Przykłady
21+3=21+3·1-31-3=2·(1-3)(1+3)(1-3)=2-23(1-3)=2-23(-2)=-1+3
13-3=13-3·3+33+3=1·(3+3)(3-3)(3+3)=3+3(3-9)=3+3-6
1+31-3=1+31-3·1+31+3=(1+3)21-3= 1+23+3-2=4+23-2=-2-3


W przypadku, gdy w mianowniku mamy do czynienia z sumą trzech lub więcej liczb niewymiernych, wygodnie jest dokonać pewnego podstawienia i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia jak wyżej.
Przykład
12+3+5
Dla uproszczenia rachunków podstawiamy m=2+3 .
12+3+5=1m+5=1m+5·m-5m-5=m-5m2-5
W miejsce m wstawiamy teraz z powrotem 2+3 i kontynuujemy obliczenia.
m-5m2-5=2+3-5(2+3)2-5=2+3-52+26+3-5=2+3-526=2+3-526·66=12+18-3012=23+32-3012

matematyka » arytmetyka » działania na liczbach » pierwiastkowanie » usuwanie niewymierności z mianownika




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 15 drukuj