Definicja funkcji

Funkcją ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi $x \in X$ odpowiada dokładnie jeden element $y \in Y$.

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami.
Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Jeśli element zbioru $Y$ jest przyporządkowany pewnemu elementowi zbioru $X$, to nazywamy go wartością funkcji.

Funkcje zwykle oznaczamy małymi literami alfabetu łacińskiego, na przykład $f, g, h$.
Mówiąc o funkcji $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$, używamy zapisu: $ f: X \to Y $, a wartość, jaką funkcja $f$ przyjmuje dla argumentu $x$ oznaczamy $f(x)$.

Rozpatrzmy przyporządkowanie.

Każdej liczbie ze zbioru $X = \{1,2,3,4,5\}$ przyporządkowano jej resztę z dzielenia przez 3. Zbiór możliwych reszt oznaczono literą $Y$. Przyporządkowanie to przedstawiono za pomocą tabeli i grafu.

Opisane wyżej przyporządkowanie jest przykładem funkcji. W przyporządkowaniu tym wskazane są dwa zbiory, oznaczone przez $X$ i $Y$, oraz określony sposób przyporządkowania elementom zbioru $X$ elementów zbioru $Y$. Przyporządkowanie to przedstawiono za pomocą tabeli (po lewej) i grafu (po prawej).

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $X = \{1,2,3,4,5\}$.
Przeciwdziedziną jest zbiór $Y = \{ 0, 1, 2\}$.
Zbiorem wartości jest zbiór $Y = \{ 0, 1, 2\}$.

Dla tego przyporządkowania możemy powiedzieć, że funkcja przyporządkowuje:
- liczbie 1 wartość 1
- liczbie 2 wartość 2
- liczbie 3 wartość 0
- liczbie 4 wartość 1
- liczbie 5 wartość 2

Jeśli tę funkcję oznaczymy literą $g$, to możemy zapisać:
  $g(1) = 1$
  $g(2) = 2$
  $g(3) = 0$
  $g(4) = 1$
  $g(5) = 2$

Rozpatrzmy przyporządkowanie

Dane są dwa zbiory $X = \{ -2, -1, 0, 1, 2\}$ i $Y = \{ 0, 1, 2, 3, 4\}$. Określmy funkcję $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$, która każdej liczbie przyporządkuje jej kwadrat. Poniżej przedstawiono to przyporządkowanie za pomocą tabeli i grafu.

Zwróć uwagę, że liczby $2$ i $3$ należą do przeciwdziedziny funkcji $f$, ale nie są wartościami tej funkcji.
Funkcja $f$ dla argumentu $x=2$ przyjmuje wartość $y = 4$, co zapisujemy $f(2) = 4$ i czytamy f od $2$ jest równe $4$. Wartość $y=4$ funkcja $f$ przyjmuje również dla argumentu $x = -2$, zatem zachodzi także $f(-2) = 4$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $X = \{ -2, -1, 0, 1, 2\}$.
Przeciwdziedziną jest zbiór $Y = \{ 0, 1, 2, 3, 4\}$.
Zbiorem wartości jest zbiór $ \{ 0, 1, 4\}$.

Funkcja liniowa $y=\tfrac{1}{2}x$

Dla $y=\tfrac{1}{2}x$ każdemu argumentowi $x$ przypisujemy połowę jego wartości. Funkcję tę bardzo dobrze obrazuje wykres w układzie współrzędnych, gdzie każdemu argumentowi $x$ (na osi $OX$) przypisana jest połowa jego wartości $y$ (na osi $OY$).
Wykresem jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych.

Dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste.
Przeciwdziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste.
Zbiorem wartości są wszystkie liczby rzeczywiste.