logowanie

matematyka » analiza » funkcje » definicja funkcji

Definicja funkcji

Nich X i Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Jeśli każdemu elementowi zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y, to mówimy, że w zbiorze X została określona funkcja, której wartościami są elementy zbioru Y.

Zamiast odwzorowanie zbioru X w Y mówimy również przekształcenie zbioru X w Y lub funkcja odwzorowująca X w Y. Słowa odwzorowanie, przekształcenie i funkcja mają więc to samo znaczenie. Odwzorowania jednego zbioru w drugi oznaczamy najczęściej małymi literami alfabetu łacińskiego: f, g, h. Zamiast zdania: f jest odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y - piszemy symbolicznie: f: XY.

Jeśli f: XY, to element zbioru Y przyporządkowany przez przekształcenie f nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x lub obrazem elementu x przy przekształceniu f i oznaczamy f(x). Symbole f i f(x) mają różne znaczenie, pierwszy oznacza samą funkcję, drugi oznacza wartość funkcji dla argumentu x, czyli element zbioru Y.


Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Zbiór Df = X nazywamy dziedziną funkcji f, jeśli spełnia warunek
          xX yY y = f ( x )

Zbiór f(X) ⊂ Y nazywamy zbiorem wartości funkcji f, jeśli spełnia warunek
          yf(X) xX y = f ( x )

Dziedzina funkcji to zbiór X tych elementów, dla których funkcja została zdefiniowana, a przeciwdziedzina to zbiór Y, do którego należą wartości funkcji, czyli zbiór tych elementów y zbioru Y, dla których istnieje xX, takie że y = f(x).


Ścisła definicja funkcji

Powyżej pojęcie funkcji wprowadzone jest intuicyjnie, ścisła definicja funkcji sformułowana za pomocą teorii mnogości pochodzi od G. Peano (1911 r.)

Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Jeżeli relacja dwuczłonowa fX × Y spełnia następujący warunek:
jeżeli dla każdego xX istnieje dokładnie jeden element yY, taki że x f y,
to relację tę nazywamy funkcją (odwzorowaniem).

Zapis x f y czytamy: x jest w relacji f z y lub zapisujemy (x, y)∈f. Tak określoną funkcję możemy ostatecznie zdefiniować:

Funkcją nazywamy zbiór f par (x, y), takich że xX y1 , y2 Y

Definicja ta mówi, ze każdy element dziedziny relacji f pozostaje w tej relacji tylko z jednym elementem zbioru Y. To jedyne y, które pozostaje z x w relacji f, czyli takie że x f y, oznaczamy symbolem f(x) i nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x. Wzór y = f(x) wyraża więc to samo co x f y.





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 18 drukuj