Liczba i
Spróbujmy rozwiązać równanie x2 + 1 = 0. Jeśli ma ono rozwiązanie, musi być nim liczba, której kwadrat wynosi -1, ale kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest dodatni. Wydaje się więc, że brak jest rozwiązań tego równania. Jeśli chcemy, by mimo wszystko powyższe równanie miało jakieś rozwiązanie, trzeba wymyślić jakieś nowe liczby, których kwadrat byłby ujemny. Czy takie liczby mogą być "realne"? Mogą, pod warunkiem, że ich pojawienie się nie zagrozi bytów już istniejących.
Takie liczby zostały wprowadzone przez Kartezjusza w XVII wieku, choć wcześniej operował nimi już Girolamo
Cardano, który rozpatrywał oto takie zadanie:
Podzielić 10 na dwie części, których iloczyn równy jest
40.
Dalej pisał:
Podzielmy 10 na dwie równe części, każda równa 5. Mnożąc otrzymujemy 25.
Od tej liczby odejmujemy 40 i dostajemy -15. Teraz
dodane i odjęte od 5 daje liczby, których iloczyn równy jest 40.
Liczby te to:
i
.
Dalej udowadniał:
Pomnóżmy
przez
, a otrzymamy 25 - (-15), co daje 40.
Tak powstał nowy byt matematyczny, którego nazwano imaginarius - liczby wyimaginowane, urojone. Zostały wprowadzone po to, by uzyskać kwadrat ujemny! W 1777 roku Leonhard Euler w miejsce , wprowadził symbol i, który oznacza jednostkę urojoną wynoszącą pierwiastek z minus jeden. I tym właśnie jest i - pierwiastkiem z minus jeden.
Jednak założenie to jest niewystarczające, dlatego też należy dodatkowo założyć
i2 = -1
oraz
-i2 = -i · (-i) = +i2 = -1
Nowe liczby w połączeniu z liczbami rzeczywistymi tworzą tzw liczby zespolone, które posiadają własne działania arytmetyczne i przed którymi otwiera się ogromne pole zastosowań.
Liczba i opisuje również obrót o 90 stopni, dwa takie obroty czyli i2 daje obrót o 180 stopni, albowiem skręcenie -1 jest półobrotem - odpowiada jednokładności, która jest symetrią środkową. Liczba -i odpowiada również obrotowi, jednak w drugą stronę niż obrót wyznaczony przez i.