Matura z matematyki - poziom podstawowy

Zadania zamknięte


Zadanie 1.
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x + 7| > 5

Rozwiązanie
|x + 7| > 5
x + 7 > 5 i x + 7 < -5
x > -2 i x < -12
Rozwiązaniem nierówności jest przedział liczbowy (-∞, -12)∩(-2, ∞)
Prawidłowa odpowiedĽ: C.


Zadanie 2.
Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?
A. 163,80 zł        B. 180 zł        C. 294 zł        D. 420 zł

Rozwiązanie
Niech x oznacza cenę spodni przed obniżką.
30% z x - obniżka
x - 0,3x = 126
0,7x = 126 / : 0,7
x = 180
Spodnie przed obniżką kosztowały 180 zł.
Prawidłowa odpowiedĽ: B.


Zadanie 3.
(2-23-12-13-2)0
A. 1      B. 4      C. 9      D. 36

Rozwiązanie
Dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej równa się 1.
Prawidłowa odpowiedĽ: A.


Zadanie 4.
Liczba log48 + log42 jest równa
A. 1      B. 2      C. log46      D. log410

Rozwiązanie
Korzystamy z prawa działań na logarytmach
log48 + log42 = log4(8 · 2) = log416 = 2.
Prawidłowa odpowiedĽ: B.


Zadanie 5.
Dane są wielomiany W(x) = -2x3 + 5x2 - 3 oraz P(x) = 2x3 +12x . Wielomian W(x) + P(x) jest równy
A. 5x2 + 12x - 3
B. 4x3 + 5x2 + 12x - 3
C. 4x6 + 5x2 + 12x - 3
D. 4x3 + 12x2 - 3

Rozwiązanie
(-2x3+5x2-3) + (2x3+12x)=-2x3+5x2-3+2x3+12x=5x2+12x-3
Prawidłowa odpowiedĽ: A.


Zadanie 6.
Rozwiązaniem równania 3x-17x+1=25 jest
A. 1      B. 73      C. 47      D. 7

Rozwiązanie
Obliczamy dziedzinę równania:
7x + 1 ≠ 0
7x ≠ 1
x17

5(3x - 1) = 2(7x + 1)
15x - 5 = 14x + 2
x = 7
Prawidłowa odpowiedĽ: D.


Zadanie 7.
Do zbioru rozwiązań nierówności (x - 2)(x + 3) < 0 należy liczba
A. 9      B. 7      C. 4      D. 1

Rozwiązanie
(x - 2)(x + 3) < 0
Najłatwiej i najszybciej zadanie rozwiązać można podstawiając cztery podane wartości do nierówności.
(9 - 2)(9 + 3) < 0 ⇒ 84 < 0, fałsz
(7 - 2)(7 + 3) < 0 ⇒ 50 < 0, fałsz
(4 - 2)(4 + 3) < 0 ⇒ 24 < 0, fałsz
(1 - 2)(1 + 3) < 0 ⇒ -4 < 0, prawda
Prawidłowa odpowiedĽ: D.


Zadanie 8.
Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = -3x2 + 3 jest parabola o wierzchołku w punkcie
A. (3,0)      B. (0,3)      C. (-3,0)      D. (0,-3)

Rozwiązanie
f(x) = -3x2 + 3
a = -3, b = 3, c = 0;
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku W=(-b2a,-Δ4a)
Delta: Δ=b2-4ac=36
Wierzchołek paraboli: W=(0, 3)
Prawidłowa odpowiedĽ: B.


Zadanie 9.
Prosta o równaniu y = -2x + (3m + 3) przecina w układzie współrzędnych oś OY w punkcie (0, 2). Wtedy
A. m=-23      B. m=-13      C. m=13      D. m=53

Rozwiązanie
Prosta o równaniu ogólnym y = ax+ b przecina oś OY w punkcie (0, b).
Zachodzi więc 2 = 3m + 3
3m = -1
m=-13
Prawidłowa odpowiedĽ: B.


Zadanie 10.
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x).

Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
A. f(x) = 0      B. f(x) = 1      C. f(x) = 2      D. f(x) = 3

Rozwiązanie
Korzystając z rysunku odczytujemy
Dla f(x) = 0 funkcja ma 2 rozwiązania
Dla f(x) = 1 funkcja ma 4 rozwiązania
Dla f(x) = 2 funkcja ma 3 rozwiązania
Dla f(x) = 3 funkcja ma 2 rozwiązania
Prawidłowa odpowiedĽ: C.


Zadanie 11.
W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3 = 13 i a5 = 39. Wtedy wyraz a1 jest równy
A. 13      B. 0      C. -13      D. -26

Rozwiązanie
Wyraz a4 jest średnią arytmetyczną wyrazów a3 i a5.
a4 = 13+392=26
Różnica ciągu arytmetycznego wynosi r = 26 - 13 = 13
Wyraz a3 = 13, więc wyraz a1 = a3 - 2 · r = 13 - 2 · 13 = -13
Prawidłowa odpowiedĽ: C.


Zadanie 12.
W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 3 i a4 = 24. Iloraz tego ciągu jest równy
A. 8      B. 2      C. 18      D. -12

Rozwiązanie
Iloraz ciągu geometrycznego równy jest q=an+1an.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: an = a1 · qn-1 dla n ≥ 2.
Obliczamy iloraz q z wyrazu czwartego a4 = a1 · q3
24 = 3 · q3
q3 = 8
q=83=2
Prawidłowa odpowiedĽ: B.


Zadanie 13.
Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa
A. 7      B. 14      C. 21      D. 28

Rozwiązanie
Liczba przekątnych w n-kącie równa jest p=n(n-3)2 = 14
Prawidłowa odpowiedĽ: B.


Zadanie 14.
Kąt α jest ostry i sinα=34. Wartość wyrażenia 2-cos2α jest równa
A. 2516      B. 32      C. 1716      D. 3116

Rozwiązanie
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: sin2α+cos2α=1, z której obliczamy cos2α
cos2α=1-sin2α
cos2α=1-(34)2
cos2α=1-916
cos2α=716
Obliczamy teraz wartość wyrażnia 2-cos2α
2-716=2516
Prawidłowa odpowiedĽ: A.


Zadanie 15.
Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa
A. 42      B. 22      C. 8      D. 4

Rozwiązanie
Przekątna kwadratu jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego na nim.
Przekątna kwadratu równa jest d = 8.
Niech a oznacza długość boku kwadratu
Korzystamy bezpośrednio ze wzoru na przekątną kwadratu d=a2 lub z twierdzenia Pitagorasa:
a2+a2=d2
2a2=82
a2=32
a=32
a=42
Prawidłowa odpowiedĽ: A.


Zadanie 16.
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość
A. 3      B. 4      C. 34      D. 61

Rozwiązanie
Rysunek do zadania:

Wysokość tójkąta liczymy z twierdzenia Pitagorasa: a2+b2=c2
W naszym wypadku mamy: h2+32=52
h2=25-9
h2=16
h=16
h=4
Uwaga: spoglądając na rysunek warto zauważyć, że mamy do czynienia z trójkątem egipskim, często obecnym trójkątem pitagorejskim (3, 4, 5).
Prawidłowa odpowiedĽ: B.


Zadanie 17.
Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa

A. 2      B. 3      C. 5      D. 6

Rozwiązanie
Korzystamy z tw. Talesa
|DE||AB|=|CD||AC|
39=1|AD|+1
|AD| = 2
Prawidłowa odpowiedĽ: A.


Zadanie 18.
Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa

A. 120°      B. 90°      C. 60°      D. 30°

Rozwiązanie
Kąt przy wierzchłku c ma miarę 60°.
Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku co kąt środkowy.
Miara kąta ASB jest równa 120°
Prawidłowa odpowiedĽ: A.


Zadanie 19.




Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa
A. 3200 cm2
B. 6400 cm2
C. 1600 cm2
D. 800 cm2




Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru: P=12absinα
P=12·80·80·sin30
P=12·80·80·12=1600 cm2
Prawidłowa odpowiedĽ: C.


Zadanie 20.
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y = -3x + 5 jest równy:
A. -13      B. -3      C. 13      D. 3

Rozwiązanie
Proste w układzie współrzędnych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych są równe.
Prawidłowa odpowiedĽ: B.


Zadanie 21.
Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.
A. x2 + y2 = 3      B. x2 + y2 = 6      C. x2 + y2 = 12      D. x2 + y2 = 36

Rozwiązanie
Równanie okręgu o środku w punkcie (a, b) i promieniu r: (x - a)2 + (y - b)2 = r2
62 = 36
Prawidłowa odpowiedĽ: D.


Zadanie 22.
Punkty A = (-5, 2) i B = (3, -2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy
A. 30      B. 45      C. 125      D. 36

Rozwiązanie
Jeżeli dane są punkty A(xa; ya) i B(xb; yb) na płaszczyĽnie, to długość odcinka |AB| obliczamy ze wzoru
|AB|=(xb-xa)2+(yb-ya)2
|AB|=(3-(-5))2+(-2-2)2=80=45
Obwód trójkąta równy jest 3·45=125
Prawidłowa odpowiedĽ: C.


Zadanie 23.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5×3×4 jest równe
A. 94      B. 60      C. 47      D. 20

Rozwiązanie
Pc=2·(5×3)+2·(5×4)+2·(4×3)=94
Prawidłowa odpowiedĽ: A.


Zadanie 24.
Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
A. 11      B. 18      C. 27      D. 34

Rozwiązanie
Jeśli przez w oznaczymy liczbę wierzchołków ostrosłupa to liczba krawędzi równa się 2(w - 1)
2(18 - 1) = 34
Prawidłowa odpowiedĽ: D.


Zadanie 25.
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy
A. x = 2      B. x = 3      C. x = 4      D. x = 5

Rozwiązanie
x+3+1+4+1+5+1+4+1+510=3
Mnożymy obustronnie równanie przez 10 i otrzymujemy
x + 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 1 + 4 + 1 + 5 = 30
x = 30 - 25
x = 5
Prawidłowa odpowiedĽ: D.


Zadania otwarte


Zadanie 26.
Rozwiąż nierówność x2 - x - 2 ≤ 0.

Rozwiązanie
x2 - x - 2 ≤ 0
Współczynniki liczbowe: a=1,b=-1,c=-2

Delta: Δ=b2-4ac=9

x1=-b-Δ2a=-1
x2=-b+Δ2a=2

(x+1)(x-2)0


Rozwiązaniem nierówności są x ∈ <-1, 2>


Zadanie 27.
Rozwiąż równanie x3 - 7x2 - 4x + 28 = 0 .

Rozwiązanie
Równanie grupujemy oraz korzystając ze wzorów skróconego mnożenia przekształcamy.
x2(x-7)-4(x-7)=0
(x2-4)(x-7)=0
(x-2)(x+2)(x-7)=0
Rozwiązaniem równania są x1=2, x2=-2, x3=7


Zadanie 28.
Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD| = |BE|.

Rozwiązanie
Długości boków AC i CB są równe, oraz boki CD i CE są także tej samej długości.
Miary kątów ACD i BCE są jednakowe.

Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

Zatem trójkąty ACD i BCE są przystające, więc |AD| = |BE|.


Zadanie 29.
Kąt α jest ostry i tgα=512. Oblicz cosα.

Rozwiązanie
Kąt α, więc cosα > 0.
sinαcosα=512
sinα=512cosα

Podnosimy obie strony do kwadratu i otrzymujemy
sin2α=25144cos2α

Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej: sin2α+cos2α=1
25144cos2α+cos2α=1
169144cos2α=1
cos2α=144169
cosα=144169
cosα=1213


Zadanie 30.
Wykaż, że jeśli a > 0, to a2+1a+1a+12

Rozwiązanie
Mnożymy obie strony nierówności przez 2(a + 1). Znak nierówności nie zmieni się, ponieważ a > 0.
a2+1a+1a+12/·2(a+1)
2(a2+1)(a+1)2
2a2+2a2+2a+1
2a2+2a2+2a+1
a2-2a+10
(a-1)20
Nierówność ta jest zawsze prawdziwa w zbiorze liczb rzeczywistych,
więc dla a > 0 nierówność a2+1a+1a+12 jest także prawdziwa, co należało wykazać.


Zadanie 31.
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Rozwiązanie
Rysunek do zadania

Długość podstawy dolnej i nie prostopadłego ramienia trapezu wynosi 6.
Wysokość h trójkąta i zarazem trapezu ma długość h=632=33
Długość boku a jest równa połowie podstawy trójkąta równobocznego i wynosi 3.
Możemy także policzyć z twierdzenia Pitagorasa długość górnej podstawy trapezu a zakładając, że a > 0
a2=62-h2
a2=36-(33)2
a2=36-27
a2=9
a=3
Obwód trapezu równy jest 6+6+3+33=15+33=3(5+3) .


Zadanie 32.
Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. KrawędĽ AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD| = 12, |BC| = 6, |BD| = |CD| = 13.

Rozwiązanie
|BD| = |CD| = 13
H = |AD| = 12
|BC| = 6
Do obliczenia objętości potrzeba policzyć pole podstawy ostrosłupa.
Znamy długości boków trójkąta CBD, w którym możemy policzyć wysokość h1 z tw. Pitagorasa. Przy obliczaniu zakładamy, ze wszystkie wielkości są większe od zera.
h12=132-32
h1=160
Znając wysokość trójkąta CBD i wysokość ostrosłuba AD możemy policzyć wysokość trójkąta ABC również z tw. Pitagorasa.
h22=h12-H2
h22=160-144
h2=16
h2=4
Objętość ostrosłupa równa jest V=13·Pp·H
V=13·(12·6·4)·12=48.


Zadanie 33.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Rozwiązanie
Wszystkich możliwych wyników przy dwukrotnym rzucie kostą sześcienną jest 62 = 36.
Ω=36
A - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12.
Wypisujemy zbiór zdarzeń sprzyjających: A={(2,6),(4,3),(6,2),(4,6),(6,4),(6,6)}
Moc zbioru A wynosi 6 (jest sześć sprzyjających zdarzeń).
P(A)=636=16.


Zadanie 34.
W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2 oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Rozwiązanie
P1=240m2,P2=350m2.

x·y=240
(x+2)·(y+5)=350

Drugie równanie ma postać xy+5x+2y+10=350.
W miejsce xy wstawiamy wartość 240 i otrzymujemy 5x + 2y = 100.

Z pierwszego równania wyznaczamy x=240y i wstawiamy do drugiego równania.
1200y+2y=100/·y
2y2-100y+1200=0

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
Współczynniki liczbowe: a=2,b=-100,c=1200

Delta: Δ=b2-4ac=400
y1=-b-Δ2a=20
y2=-b+Δ2a=30

Dla y1=30x1=8
dla y2=20x2=12.

Wymiary basenów w hotelach mogą mieć wymiary 8 m × 30 m i 10 m × 35 m lub 12 m × 20 m i 14 m × 25 m.

matematyka » egzaminy » matura » matura 2010, poziom podstawowy




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 21 drukuj