Pochodna funkcji

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu x0. Oznaczmy symbolem Δx przyrost zmiennej niezależnej x, gdzie xU(x0, δ) i xx0, symbolem Δy - przyrost wartości funkcji, jaki odpowiada przyrostowi Δx.
Mamy więc Δy = f(x0 + Δx) - f(x0).

Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu Δx zmiennej x nazywamy stosunek     f(x0+Δx) -f(x0) Δx

pochodna funkcji

Granicę właściwą ilorazu różnicowego przy Δx→0 nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolicznie f '(x0)

Mamy więc f '(x0) = lim Δx0 f(x0+Δx) -f(x0) Δx = lim xx0 f(x) -f(x0) x-x0

Geometrycznym odpowiednikiem istnienia granicy jest istnienie prostej stycznej w punkcie A = (x0, f(x0)) do wykresu funkcji y = f(x)

Funkcję f nazywamy różniczkowalną w przedziale X wtedy, gdy ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału.

Różnicą funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn f '(x0x, przyrost Δx nazywamy różniczką zmiennej niezależnej x.

Granicę właściwą lim Δx0- f(x0+Δx) -f(x0) Δx nazywamy pochodną lewostronną funkcji f w punkcie x0,
Granicę właściwą lim Δx0+ f(x0+Δx) -f(x0) Δx nazywamy pochodną prawostronną funkcji f w punkcie x0.

Analogicznie do granic funkcji można też mówić o pochodnych niewłaściwych (nieskończonych) funkcji f w punkcie x0, jak również o pochodnych niewłaściwych jednostronnych w punkcie x0.

Jeżeli granica lim Δxx0 f(x) -f(x0) x-x0 = lim Δx0 f(x0+Δx) -f(x0) Δx = (-∞), to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 pochodną niewłaściwą.
Zapisujemy wówczas f '(x0) = ∞ lub f '(x0) = -∞.
Geometrycznie oznacza to, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x0 jest prostopadła do osi OX.

Jeżeli funkcja f ma pochodną f ' w przedziale X i funkcja g(x) = f '(x) ma w punkcie x0X pochodną, to pochodną tę nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji f w punkcie x0 i symbolicznie oznaczamy f ''(x0).
Podobnie określa się pochodne rzędu trzeciego, czwartego itd.

matematyka » analiza » rachunek różniczkowy » pochodna funkcji




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 48 drukuj