Potęgowanie (potęga)

Potęgowanie

Symbol potęgi wprowadzono po to, aby skrócić zapis mnożenia tych samych czynników lub żeby móc przedstawić w krótkiej postaci duże liczby. Potęgowanie to operacja będąca uogólnieniem wielokrotnego mnożenia. Zapisywana jest jako aⁿ, co oznacza n-krotne mnożenie a przez siebie. Drugą potęgę często nazywa się kwadratem, trzecią sześcianem, czwartą czasami bikwadratem.

aⁿ = b

aⁿ - n-ta potęga liczby a,
n - wykładnik potęgi,
a - podstawa potęgi,
b - wynik potęgowania (potęga).
Zapis aⁿ czytamy a podniesione do potęgi n lub krótko: a do potęgi n.

Potęga o wykładniku naturalnym.
aⁿ = a · a · a · ... · a,   gdzie a występuje n-krotnie,
a⁰ = 1    dla a ≠ 0
a¹ = a    dla a ∈ R
aⁿ⁺¹ = aⁿ · a    dla a ∈ R ∧ n ∈ N

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym.
a^-n = $\frac{1}{a^{n}}$ dla a ∈ R\{0} ∧ n ∈ N

Potęga o wykładniku wymiernym.
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ dla a ∈ R⁺∪{0}, m ∈ N i n ∈ N\{1}
$a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$ dla a ∈ R⁺, m ∈ N i n ∈ N\{1}

Potęga 0⁰
Zdefiniowanie potęgi 0⁰ sprawia problemy. Z jednej strony można by ją przedstawić jako a⁰ i rozszerzyć wartość na 1. Z drugiej strony natomiast 0ⁿ = 0, dla wszelkich niezerowych n. Druga wersja nie została przyjęta, ponieważ funkcja f(x) = 0^x ma niwielkie znaczenie. Natomiast za przyjęciem wartości 0⁰ = 1 istnieje sporo argumentów. Często w analizie matematycznej przyjmuje się, że 0⁰ jest symbolem nieoznaczonym. W algebrze abstrakcyjnej 0⁰ jest zawsze równe 1.

Działania na potęgach