logowanie

matematyka » arytmetyka » działania na liczbach » proporcja

Proporcja

Równość dwóch stosunków nazywamy proporcją. Proporcję należy rozumieć jako współgranie poszczególnych części w całości, to współmierność, stosunek jednej części do drugiej. W starożytności proporcje były podstawą matematyki i odbiciem harmonii panującej w świecie. Grecy z ich pomocą potrafili obliczyć bardzo wiele. Proporcja to skuteczne narzędzie do rozwiązywania prostych zadań.

Proporcja to stwierdzenie, że $a$ do $b$ ma się tak, jak $c$ do $d$. Możemy to wyrazić zapisując:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

gdzie $b \neq 0$ i $d \neq 0$

$a$ i $d$ - wyrazy skrajne,
$b$ i $c$ - wyrazy środkowe.


Przekształcając proporcje w określony sposób można otrzymać proporcje równoważne z proporcją wyjściową. Proporcję możemy potraktować jak równanie. Można więc obie strony proporcji pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę, dodać tę samą liczbę do obu stron, odjąć tę samą liczbę od obu stron. Można także jedną lub drugą stronę proporcji rozszerzyć lub uprościć. W szczególności można przestawić wyrazy skrajne lub wyrazy środkowe, proporcję można odwrócić.
Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych: $a \cdot d = b \cdot c$. To bardzo ważna zasada, dzięki której znając trzy liczby w proporcji, możemy wyznaczyć czwartą z nich, przekształcając równanie.

Jeżeli zachodzi proporcja $a \div b = c \div d$ oraz $b \neq 0$ i $d \neq 0$, $a \neq \pm b$ i $c \neq \pm d$, to:
$a = \frac{b \cdot c}{d}$
$b = \frac{a \cdot d}{c}$
$c = \frac{a \cdot d}{b}$
$d = \frac{b \cdot c}{a}$

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

$\frac{a}{a \pm b} = \frac{c}{c \pm d}$

$\frac{a \pm b}{b} = \frac{c \pm d}{d}$


Równość kilku stosunków można zapisać jako proporcję złożoną: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \ldots = \frac{a_n}{b_n}$
Proporcja złożona to pewien sposób zapisu układu $n-1$ równań. Pomnożenie albo podzielenie wszystkich wyrazów proporcji przez liczbę różną od zera nie zmienia proporcji. Jeśli jeden z wyrazów proporcji zwiększymy $k$-krotnie, to aby zachować proporcje, należy tyle samo zwiększyć pozostałe wyrazy proporcji.





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 98 drukuj