logowanie

matematyka » ciekawostki » a to ciekawe » niezwykłe równanie Eulera

Niezwykłe równanie Eulera

I ta myśl niech pocieszy, że w istocie eiπ + 1 = 0.
                                                                            Diogenes

Równanie eiπ + 1 = 0 pojawia się w Introductio Eulera, opublikowanym w Lozanie w 1748 roku. W tym równaniu można odnaleźć podstawowe liczby matematyki:
0, 1, π, e, i
i jest równaniem wiążącym funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą.

Leonhard Euler udowodnił, że, eiφ = cosφ + isinφ, gdzie φ jest liczbą rzeczywistą. Liczba eiφ jest punktem płaszczyzny, jego pierwszą współrzędną jest cosφ, drugą - sinφ. Podstawiając w miejsce φ = π otrzymujemy
eiπ = cosπ + isinπ = -1 + 0
eiπ + 1 = 0

I tak oto z wielkości, które pojawiły się w matematyce w różnych okresach, związane zostały ze sobą piękną formułą, która przyciąga uwagę i budzi zachwyt. Tożsamość Eulera nazywana jest także najpiękniejszym wzorem matematyki. Wykorzystuje trzy działania arytmetyczne i łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych.

Równanie Eulera oznacza, że (1+iπn)n coraz bardziej zbliża się do -1 wraz ze wzrostem wartości n. Jest to punkt otrzymany przez połączenie n trójkątów tego samego kształtu. Im większe stają się n, tym bardziej ta figura zbliża się do kształtu półkola.





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 94 drukuj