logowanie


matematyka » zadania » zbiór zadań » rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (ciąg arytmetyczny)

Zadanie 12

Wyznacz ciąg arytmetyczny, mając dane: a5 = 31, a9 = 55.


Rozwiązanie

Aby wyznaczyć ciąg arytmetyczny, trzeba znaleźć jego pierwszy wyraz a1 oraz różnicę r.

Sposób I
W zadaniu możemy posłużyć się wzorem an = a1 + (n - 1) · r,
a5 = a1 + (5 - 1) · r = a1 + 4r
a9 = a1 + (9 - 1) · r = a1 + 8r
korzystając z danych a5 = 31, a9 = 55, tworzymy układ równań:
{a1+4r=31a1+8r=55
który najłatwiej rozwiązać metodą przeciwnych współczynników. Mnożymy pierwsze równanie przez -1
{-a1-4r=-31a1+8r=55
i dodajemy równania stronami:
-a1+a1-4r+8r=-31+55
4r=24
r = 6

Pierwszy wyraz a1 znajdujemy, wstawiając r do np. pierwszego równania
a1 + 4r = 31
a1 + 4 · 6 = 31
a1 = 31 - 24
a1 = 7



Sposób II
Różnica a9 - a5 = 55 - 31 = 24
Należy zauważyć, że pomiędzy piątym i dziewiątym wyrazem są cztery różnice r (9 - 5 = 4).
Różnica r jest ilorazem 24 przez 4 i w tym przypadku wynosi 6.

Pierwszy wyraz a1 możemy policzyć jak w sposobie I ze wzoru: an = a1 + (n - 1) · r
a1 + 4r = 31
a1 + 4 · 6 = 31
a1 = 31 - 24
a1 = 7


Odp. a1 = 7, r = 6.


powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>





© 2023 math.edu.pl      kontakt