Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (ciąg arytmetyczny)

Zadanie 7

Sprawdź, czy ciąg $a_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ jest arytmetyczny?

Rozwiązanie

Należy sprawdzić, czy różnica $a_{n + 1} - a_{n}$ jest stała (jest liczbą).
$a_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$
$a_{n + 1} = \frac{2 (n + 1)}{(n + 1) + 1} = \frac{2 n + 2}{n + 2}$
$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 n + 2}{n + 2} - \frac{2 n}{n + 1} = \frac{(2 n + 2) (n + 1)}{(n + 2) (n + 1)} - \frac{2 n (n + 2)}{(n + 2) (n + 1)} = \frac{2 n^{2} + 2 n + 2 n + 2 - 2 n^{2} - 4 n}{(n + 2) (n + 1)} = \frac{2}{(n + 2) (n + 1)}$
Różnica wynosi $r = \frac{2}{(n + 2) (n + 1)}$ i jest zależna od n, zatem nie jest stała. Ciąg $a_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ nie jest arytmetyczny.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>