logowanie


matematyka » zadania » zbiór zadań » rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania ciekawe)

Zadanie 19

Uczeń Platona i Sokratesa
Uczeń Platona i Sokratesa wybrał takie dwie liczby naturalne większe od 1, których suma jest mniejsza od 20. Platon poznał sumę tych liczb, a Sokrates ich iloczyn. Każdy z nich znał tylko swoją liczbę i obaj wiedzieli, że mają sumę i iloczyn pewnych liczb. Potem Platon i Sokrates przeprowadzili następującą rozmowę:

Sokrates: Nie wiem jakie to liczby.
Platon: Wiedziałem, że nie będziesz wiedział.
Sokrates: A teraz to już wiem.
Platon: A teraz to ja też wiem.

Jakie liczby wybrał uczeń Platona i Sokratesa?


Rozwiązanie

Z odpowiedzi pierwszej Sokratesa wynika, że liczba, którą otrzymał Sokrates nie jest iloczynem dwóch liczb pierwszych, bo w przeciwnym wypadku odgadłby te liczby natychmiast, a z pierwszej odpowiedzi Platona wnioskujemy, że liczba którą otrzymał Platon, nie może być sumą dwóch liczb pierwszych. Należy rozpatrzyć więc wszystkie przypadki sumy dwóch liczb pierwszych:

4 = 2 + 2, 5 = 3 + 2, 6 = 3 + 3, 7 = 5 + 2, 8 = 5 + 3, 9 = 7 + 2,
10 = 7 + 3, 12 = 7 + 5, 13 = 11 + 2, 14 = 7 + 7, 15 = 13 + 2,
16 = 13 + 3, 18 = 11 + 7, 19 = 17 + 2.

Zatem Platon mógł otrzymać liczbę 11 lub 17.
Ale 11 = 7 + 4 = 8 + 3.

Z tego wynika, że w obu przypadkach jest możliwa druga odpowiedź Sokratesa, ale nie jest możliwa druga odpowiedź Platona. Czyli Platon nie mógł otrzymać liczby 11. Zatem otrzymał liczbę 17 = 4 + 13, a Sokrates liczbę 52.

Można sprawdzić że liczby 4 i 13 pasują do rozmowy przeprowadzonej przez Platona i Sokratesa, ponieważ inne przypadki rozkładu liczby 17 na sumę dwóch składników nie spełniają warunków zadania.


powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>





© 2023 math.edu.pl      kontakt