logowanie


matematyka » zadania » zbiór zadań » rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (kombinacje)

Zadanie 16

Ile co najmniej zamków trzeba założyć do skarbca, aby przy pewnym rozkładzie kluczy z 11-osobowej komisji upoważnionej do otwierania skarbca każdych 6 członków mogło go otworzyć, ale żadnych 5 nie mogło?


Rozwiązanie

Niech dla pewnej liczby naturalnej n istnieje taki rozkład kluczy do n zamków wśród 11-osobowej komisji, że spełnione są warunki zadania. Wówczas dla każdych pięciu członków komisji istnieje taki zamek, którego żaden z nich nie może go otworzyć. Różnym podzbiorom pięcio-elementowym zbioru wszystkich członków komisji odpowiadają różne zamki, których członkowie tych piątek nie mogą go otworzyć. Suma dwóch różnych podzbiorów pięcioelementowych zawiera co najmniej sześć elementów, a każdych sześciu członków komisji może otworzyć dowolny zamek.
Stąd wniosek, że liczba zamków jest nie mniejsza od liczby podzbiorów pięcio-elementowych zbioru jedenasto-elementowego.
Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest 115=11!5!(11-5)!=462.


powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>





© 2023 math.edu.pl      kontakt