Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (kombinacje)

Zadanie 19

Ile jest par przekątnych rozłącznych w 10-kącie wypukłym?

Rozwiązanie

Wielokąt o n bokach ma $p = \frac{n (n - 3)}{2}$ przekątnych.
Dziesięciokąt ma 35 przekątnych. Liczba wszystkich par przekątnych 10-kąta to 2-elementowe kombinacje zbioru 35-elementowego $(\begin{matrix} 35 \\ 2 \end{matrix}) = 595$
Od tej liczby należy odjąć pary przekątnych przecinających się oraz pary przekątnych o wspólnym końcu.
Każde cztery wierzchołki w wielokącie wyznaczają jedną parę przekątnych przecinających się, jest ich $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = 210$
Każdy wierzchołek jest wspólnym końcem $(\begin{matrix} 10 - 3 \\ 2 \end{matrix}) = 21$ par przekątnych
Ostatecznie w 10-kącie wypukłym jest 595 - 210 - 10 · 21 = 175 par przekątnych rozłącznych.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>