Zbiór zadań,
Zadanie 2
Uczeń Platona i Sokretesa wybrał takie dwie liczby naturalne większe od
1, których suma jest mniejsza od 20. Platon poznał sumę tych liczb, a
Sokrates ich iloczyn. Każdy z nich znał tylko swoją liczbę i obaj
wiedzieli, że mają sumę i iloczyn pewnych liczb. Potem Platon i
Sokrates przeprowadzili następującą rozmowę:
Sokrates - Nie wiem jakie to liczby.
Platon - Wiedziałem, że nie będziesz wiedział.
Sokrates - A teraz to już wiem.
Platon - A teraz to ja też wiem.
Jakie liczby wybrał uczeń Platona i Sokratesa?
Rozwiązanie
Z odpowiedzi pierwszej Sokratesa wynika, że liczba, którą otrzymał
Sokrates nie jest iloczynem dwóch liczb pierwszych, bo w przeciwnym
wypadku odgadłby te liczby natychmiast, a z pierwszej odpowiedzi
Platona wnioskujemy, że liczba którą otrzymał Platon, nie może być sumą
dwóch liczb pierwszych. Należy rozpatrzyć więc wszystkie przypadki
sumy dwóch liczb pierwszych:
4 = 2 + 2, 5 = 3 + 2, 6 = 3 + 3, 7 = 5 + 2,
8 = 5 + 3, 9 = 7 + 2,
10 = 7 + 3, 12 = 7 + 5, 13 = 11 + 2,
14 = 7 + 7, 15 = 13 + 2,
16 = 13 + 3, 18 = 11 + 7, 19 = 17 + 2.
Zatem Platon mógł otrzymać liczbę 11 lub 17.
Ale 11 = 7 + 4 = 8 + 3.
Z tego wynika, że w obu przypadkach jest możliwa druga odpowiedź
Sokratesa, ale nie jest możliwa druga odpowiedź Platona. Czyli Platon
nie mógł otrzymać liczby 11. Zatem otrzymał liczbę 17 = 4 + 13,
a Sokrates liczbę 52.
Można sprawdzić że liczby 4 i 13 pasują do rozmowy przeprowadzonej przez
Platona i Sokratesa, ponieważ inne przypadki rozkładu liczby 17 na sumę
dwóch składników nie spełniają warunków zadania.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>