Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 138

Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby ${7^{7}}^{\dots}^{7}$ , w której zapisie występuje siedem siódemek.

Rozwiązanie

Niech a₁ = 7 i a_n+1 = 7^a_n dla n∈N.

Ciąg utworzony z dwóch ostatnich cyfr rozwinięcia dziesiętnego wyrazów ciągu (7^m) dla m∈N jest okresowy o okresie 4:
07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, 01, ... (*)

Należy znaleźć resztę z dzielenia liczby a₆ = 7^a₅ przez 4. Należy w tym celu zauważyć, że 7^s - 3 jest podzielne przez 4, gdzie s jest liczbą naturalną nieparzystą. Ponieważ a₅ jest nieparzysta, więc 7^a₅ - 3 jest podzielna przez 4, czyli a₆ - 3 jest podzielna przez 4.
Trzecia z kolei liczba ciągu (*) to 43, która jest rozwiązaniem zadania.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>