Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 194

Bokami trójkąta ABC są środkowe innego trójkąta o polu równym 1. Oblicz pole trójkąta ABC.

Rozwiązanie

Należy obliczyć stosunek pól obu trójkątów. Rozpatrzmy rysunek

Niech S będzie środkiem ciężkości trójkąta ABC. Przedłużając środkową AD o odcinek DG = SD otrzymujemy trójkąt BSG, w którym $B S = \frac{2}{3} B E$ , $S G = \frac{2}{3} A D$ , $B G = S C = \frac{2}{3} C F$ .
Trójkąt BSG jest podobny do trójkąta utworzonego ze środkowych trójkąta ABC w skali $\frac{2}{3}$ , zatem jego pole równe jest $\frac{4}{9}$ pola trójkąta utworzonego ze środkowych trójkąta ABC.

Pole trójkąta BSG równe jest polu trójkąta ASB, które równe jest $\frac{1}{3}$ pola ABC. Stąd pole trójkąta utworzonego ze środkowych trójkąta ABC równe jest $\frac{3}{4}$ pola trójkąta ABC.

Pole trójkąta utworzonego ze środkowych trójkąta o polu równym 1 równe jest $\frac{3}{4}$ .

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>