logowanie


matematyka » zadania » zbiór zadań » rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 216

Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby 987..1.


Rozwiązanie

Niech a1=1, a2=2a1=21. Ogólnie, niech ak=kak-1.
wówczas należy znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby a9

Liczbę a4, a5, która kończy się na pewno dwiema cyframi 2 i 5 można policzyć, ale dalsze rachunki są dla kalkulatora niemożliwe, a dla komputera zbyt czasochłonne.
Należy zauważyć, że liczba a6=6a5 jest parzysta (łatwo dowieść, ze kończy się dwiema cyframi 7 i 6),
więc liczba a7=7a6=(7a)2, gdzie a to połowa a6, jest kwadratem liczby nieparzystej.
Kwadrat liczby nieparzystej przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1, więc a7=4n+1.
Dalej liczba a8=8a7=84n+1=8·84n
Ostatnią cyfrą liczby 84n jest 6, więc liczba a8 kończy się cyfrą 8, czyli daję resztę 8 przy dzieleniu przez 10, co można zapisać a8=10m+8.
Liczba a9=9a8=910m+8=910m·98.
Dalej można skorzystać ze wzoru dwumianowego lub zauważyć, że ciąg utworzony z dwóch ostatnich cyfr rozwinięcia dziesiętnego wyrazów ciągu (9m) dla mN jest okresowy o okresie 10. Liczba 910m kończy się cyframi 0 i 1, dla dowolnego m. Stąd dwie ostatnie cyfry liczby a9 są takie same co dwie ostatnie cyfry liczby 98=43046721.
Dwie ostatnie cyfry liczby 987..1 to 21.


powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>





© 2023 math.edu.pl      kontakt