logowanie


matematyka » zadania » zbiór zadań » rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 219

Na ile sposobów można ustawić dwie nierozróżnialne wieże na szachownicy 8 × 8 tak, aby się wzajemnie nie atakowały?


Rozwiązanie

Ogólnie dla n-wymiarowej szachownicy i k nierozróżnialnych wież, jeśli k = n, to ustawienia k wież spełniających warunki zadania sprowadza się do ustalenia numerów kolumn od 1 do k, na których znajdują się wieże należące także do wiersza o numerze odpowiednio 1, 2, ... , k. Liczba sposobów jest w tym przypadku równa liczbie permutacji zbioru k-elementowego, czyli k!.
Dla ogólnego przypadku kn, ustalamy k wierszy i k kolumn, w których mają być ustawione wieże. Możemy to uczynić na nk2 sposobów. Następnie na szachownicy utworzonej z pól znajdujących się na przecięciu wybranych wierszy i wybranych kolumn ustawiamy k wież spełniających warunki zadania. Można to zrobić na k! sposobów.
Łączna liczba sposobów ustawień k nierozróżnialnych wież na szachownicy n-wymiarowej równa jest nk2·k!.

W naszym przypadku mamy 822·2!=1568.

Zadanie można rozwiązać w prostszy sposób, należało zauważyć, że jeśli jedną wieżę ustawimy na dowolnym polu, to drugą wieżę możemy ustawić na dowolnym polu szachownicy o wymiarze o jeden mniejszej. Stąd liczba sposobów równa jest 82·722=31362=1568.


powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>





© 2023 math.edu.pl      kontakt