Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 253
Dany jest ciąg liczbowy 1, 2, 3, ..., 100. Na ile sposobów można z tego ciągu wybrać trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny?
Rozwiązanie
Oznaczmy podany ciąg jako $1, 2, 3, ..., 2n$, gdzie $2n=100$
Jeśli pierwszy wyraz ciągu jest równy $a$, a różnica wynosi $r$, to trzeci wyraz jest równy $a + 2r$. Zgodnie z warunkami zadania mamy $a + 2r \le 2n$. Dla danego $r$ nierówność ta ma $2n-2r$ rozwiązań.
Ogółem otrzymujemy $(2n-2)+(2n-4)+...+2 = n(n-1)$ rozwiązań.
Dla $n=50$ otrzymujemy 2450 sposobów. Każda trójka różnych liczb wyznacza ciąg rosnący lub malejący.
Jeśli sposoby tworzące ciąg rosnący lub malejący traktować jako różne, otrzymujemy wówczas dwa razy więcej sposobów.
Jeśli ponadto możemy wybierać tę samą liczbę trzykrotnie, dodatkowo otrzymamy 100 sposobów dla ciągów stałych.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>