Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 258
Ile jest różnych sposobów pomalowania trzema kolorami koła podzielonego na 7 części?
Sposoby pokrywające się w wyniku obrotu koła względem jego środka uważamy za takie same.
Rozwiązanie
Ponieważ liczba części wynosi 7 (liczba pierwsza), to koło przy obrotach przechodzi na siebie, gdy jest pomalowane na jeden kolor. Liczba takich sposobów wynosi 3.
Pozostałe sposoby, których jest $3^7-3=2184$ można podzielić na grupy po 7 sposobów pomalowania koła, gdzie podczas obrotów jedna grupa przechodzi w drugą. Obroty te dają $\frac{2184}{7} = 312$ sposobów pomalowania koła.
Razem otrzymujemy $312 + 3 = 315$ sposobów.
Dla problemu ogólnego kolorowania $k$ kolorami koła podzielonego na $n$ części, gdzie $n$ jest liczbą pierwszą, mamy $\frac{k^n-k}{n}+k$ sposobów, gdzie ułamek $\frac{k^n-k}{n}$ będzie zawsze liczbą całkowitą, wynika to z tw. Fermata.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>