Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 261
Dany jest ciąg $(a_n)$ zdefiniowany nastepująco: $a_0 = 1$, $a_1 = 2$, $a_n = a_{n-2} + (a_{n-1})^2$, dla $n \ge 2$. Ile wynosi reszta z dzielenia wyrazu $a_{2012}$ przez 7?
Rozwiązanie
Wypisując reszty z dzielenia początkowych wyrazów otrzymujemy 1, 2, 5, 6, 6, 0, 6, 1, 0, 1, 1, 2.
Ponieważ dany wyraz ciągu zależy tylko od dwóch poprzednich wyrazów tego ciągu, więc reszta z dzielenia przez 7 danego wyrazu zależy jedynie od reszt z dzielenia przez 7 dwóch poprzednich wyrazów.
Mamy $a_{10} = a_{0}$ i $a_{11} = a_{1}$ skąd wynika, że ciąg reszt z dzielenia przez 7 wyrazów ciągu jest okresowy o okresie 10.
Reszta z dzielenia przez 7 wyrazu $a_{2012}$ jest taka sama jak reszta z dzielenia przez 7 wyrazu $a_{2}$ i równa jest 5.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>