Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 298
Każdy z miliona biletów tramwajowych oznaczono innym sześcioelementowym ciągiem cyfr. Ile jest par $(n, m)$ różnych liczb naturalnych takich, że biletów oznaczonych liczbą o sumie cyfr $n$ jest tyle samo co biletów oznaczonych liczbą o sumie cyfr $m$?
Rozwiązanie
Mamy zbiór $A=\{000000, 000001, \ldots, 999999\}$. Niech numer $a^*$ będzie numerem powstałym z $a$ przez zastąpienie każdej cyfry jej dopełnieniem do $9$, np. $561031^* = 438968$. Jeśli $a$ ma sumę cyfr $n$, to $a^*$ ma sumę cyfr $54-n$. Przekształcenie złożenia $a$ w $a^*$ jest tożsamością, więc dowolny podzbiór zbioru $A$ i jego obraz w tym przekształceniu są równoliczne.
Zatem zbiór biletów o sumie cyfr $n$ jest równoliczny ze zbiorem biletów o sumie cyfr $54-n$. Pary spełniające warunki zadania to pary $(n, 54-n)$ dla $n=0,1,2,\ldots, 26$, takich par jest $27$. Uwzględniając porządek w parach będzie ich dwa razy więcej.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>