Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 328
Na okręgu zaznaczono tysiąc punktów. Jednemu z punktów przypisujemy liczbę 1, po czym z tego punktu przechodzimy dwa punkty w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i przypisujemy mu liczbę 2. Z punktu oznaczonego jako 2 odliczamy trzy punkty i oznaczamy ten punkt jako 3. Proces ten powtarzamy tak długo, aż jeden z punktów oznaczymy liczbą 2014. Niektóre z tych punktów będą miały więcej niż jedną przyporządkowaną liczbę, a niektóre nie będą miały ich w ogóle. Jaka najmniejsza liczba została przyporządkowana punkowi wspólnie z liczbą 2014?
Rozwiązanie
Jeśli punkt na okręgu, któremu przyporządkowaliśmy liczbę 1 oznaczymy numerem 1, to liczba $2014$ musi wystąpić w $\frac{1}{2} \cdot (2014) \cdot (2015) \pmod{1000}$ punkcie z kolei na okręgu. $\frac{2014 \cdot 2015}{2} \pmod{1000} = 105$. Pierwsza liczba, która zostanie przyporządkowana $105$-mu z kolei punktowi na okręgu będzie rozwiązaniem.
Liczba $n$ zajmie ten sam punkt na okręgu, jeśli $\frac{1}{2}(n)(n+1) \equiv \frac{1}{2}(2014)(2015)\pmod{1000}$.
Po uproszczeniu otrzymujemy $2014 \cdot 2015 - n(n+1) = (2014-n)(2015+n) \equiv 0 \pmod{1000} $
Kandydatem na liczbę $n$ jest liczba $14$. Sprawdzając, otrzymujemy $\frac{14 \cdot 15}{2} \pmod{1000} = 105$. Żadna mniejsza liczba nie spełnia kongruencji, więc liczba $14$ jest rozwiązaniem.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>