Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 341
Dany jest ciąg $a_0=1, a_1=1+3, a_2=1+3+3^2, a_3=1+3+3^2+3^3, \ldots, a_{2014}=1+3+3^2+3^3+\ldots+3^{2014}$.
Ile spośród wyrazów tego ciągu jest podzielnych przez $7$?
Rozwiązanie
$a_n = 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^n $
$3a_n = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{n+1}$
$3a_n = 3^{n+1} - 1 + S_n $
$a_n = \frac{3^{n+1} -1}{2}$
Ponieważ nwd$(2,7)=1$, to $7|a_n = \frac{3^{n+1} -1}{2}$, jeśli $7|3^{n+1}-1$.
Z kolei $7|3^{n+1} -1$, jeśli $6|n+1$.
Wyraz $a_n$ jest podzielny przez $7$ dla $n = 5,11,17, \ldots, 2009.$
Wyrazów takich jest $\frac{2010}{6}=335$.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie