Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 97
Na każdej ścianie sześcianu napisano dodatnią liczbę całkowitą. Następnie w każdym wierzchołku umieszczono liczbę, która jest równa iloczynowi liczb znajdujących się na ścianach, do których ten wierzchołek należy. Jeżeli suma liczb umieszczonych w wierzchołkach jest równa 70, to jakiej liczbie równa się suma liczb znajdujących się na wszystkich ścianach.
Rozwiązanie
Przypuśćmy że na ścianach umieszczoneo liczby x1, x2, x3, x4, x5, x6. Wóczas na wierzchołkach będą znajdować się liczby zgodnie z warunkami zadania. Na jednej ścianie suma liczb w czterech wierzchołkach:
x1x2x3 + x1x3x5 + x1x2x4 + x5x4x1 = x1x3 (x2 + x5) + x1x4 (x2 + x5) = (x2 + x5)(x3 + x4)x1
Na przeciwległej ścianie suma liczb z czterech pozostałych wierzchołków:
x3x5x6 + x4x5x6 + x3x6x2 + x2x4x6 = x5x6 (x3 + x4) + x2x6 (x3 + x4) = (x3 + x4)(x5 + x2)x6
Suma wszystkich wierzchołków:
(x2 + x5)(x3 + x4)x1 + (x3 + x4)(x5 + x2)x6 = (x3 + x4)(x2 + x5)(x1 + x6).
Z warunków zadania mamy
(x3 + x4)(x2 + x5)(x1 + x6) = 70
70 = 2 · 5 · 7, czyli suma liczb umieszczonych na scianach jest równa 7 + 5 + 2 = 14.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>