Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 98
Paweł jest starszy od Piotra. Jeśli przestawimy obie cyfry liczby całkowitej wyrażającej wiek Pawła, to otrzymamy wiek Piotra. Ponadto różnica kwadratów liczb wyrażających wiek każdego z nich jest kwadratem liczby całkowitej. Ile lat ma Paweł?
Rozwiązanie
Niech 10x + y oznacza wiek Piotra, 10y + x wiek Pawła, przy czym x < y, gdzie x, y to cyfry. Zgodnie z założeniem istnieje liczba całkowita t taka, że
(10y + x)2 - (10x + y)2 = t2.
Po przekształceniu otrzymujemy równanie rónoważne: 99(y + x)(y - x) = t2 Skoro 99 = 3 · 3 · 11, więc iloczyn (y + x)(y - x) jest podzielny przez 11.
Zatem x + y = 11, y - x = 1, skąd x = 5, y = 6. Piotr ma 56 lat, a Paweł 65.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>