Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (wariacje)

Zadanie 11

Grupa przedszkolaków w pewnej zabawie łączy się w pary. Ile dzieci brało udział w zabawie, jeśli wiadomo, że mogły połączyć się w pary na 110 sposobów?

Rozwiązanie

Parę jaką tworzy dwoje dzieci, traktujemy jako parę uporządkowaną, to znaczy, para: dziecko A z lewej strony, dziecko B z prawej strony, uważamy za różną od pary dziecko A z prawej strony, dziecko B z lewej strony. Każda z par jest więc dwuwyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru wszystkich dzieci (dziecko nie może stać jednocześnie z lewej i z prawej strony).
Niech n oznacza liczbę dzieci. Otrzymujemy równanie
$V_{n}^{2} = \frac{n!}{(n - 2)!} = 110$ , gdzie n ≥ 2
$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 . . . (n - 3) (n - 2) (n - 1) \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 . . . (n - 3) (n - 2)} = 110$
(n - 1)n = 110
skąd n₁ = 11 lub n₂ = -10
Liczba dzieci nie może być liczbą ujemną, więc n = 11
W zabawie uczestniczyło 11 przedszkolaków.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>