Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) liczby x nazywamy liczbę spełniającą warunek:
$| x | = \{\begin{matrix} x dla x \geq 0 \\ - x dla x < 0 \end{matrix}$

Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba.
Wartością bezwzględną liczby ujemnej jest pezeciwna do niej liczba dodatnia.

Wartość bezwzględną liczby x zapisujemy |x|. Zapis wartości bezwzględnaj wprowadził w 1841 r. matematyk niemiecki Karl Weierstrass w swoim eseju Zur Theorie der Potenzreihen.

Uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej na liczby zespolone jest moduł określany wzorem
$| x + y \cdot i | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , dla x, y ∈ R.

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej.
|-2| = 2 |3| = 3

Własności wartości bezwzględnej

|x| ≥ 0
|x| = |-x|
-|x| ≤ x ≤ |x|
$| x | = \sqrt{x^{2}}$

|a + b| ≤ |a| + |b|
|a - b| ≤ |a| + |b|
|a · b| ≤ |a| · |b|
$\frac{| a |}{| b |} = | \frac{a}{b} |$ , dla b ≠ 0

Przykłady

|-15| = 15
|0| = 0
|25| = 25

W przypadku sumy (różnicy) składającej się ze składników niewymiernych musimy sprawdzić czy suma (różnica) jest dodatnia czy ujemna, a następnie skorzystać z definicji.
$| 3 - \sqrt{3} | = | \sqrt{9} - \sqrt{3} | > 0 \Rightarrow | 3 - \sqrt{3} | = 3 - \sqrt{3}$
$| 2 - \sqrt{5} | = | \sqrt{4} - \sqrt{5} | < 0 \Rightarrow | 2 - \sqrt{5} | = - (2 - \sqrt{5}) = - 2 + \sqrt{5}$
$| 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} | = | \sqrt{12} - \sqrt{18} | < 0 \Rightarrow | 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} | = - (2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}$

Równania z wartością bezwzględną