Definicja funkcji

Nich X i Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Jeśli każdemu elementowi zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y, to mówimy, że w zbiorze X została określona funkcja, której wartościami są elementy zbioru Y.

Zamiast odwzorowanie zbioru X w Y mówimy również przekształcenie zbioru X w Y lub funkcja odwzorowująca X w Y. Słowa odwzorowanie, przekształcenie i funkcja mają więc to samo znaczenie. Odwzorowania jednego zbioru w drugi oznaczamy najczęściej małymi literami alfabetu łacińskiego: f, g, h. Zamiast zdania: f jest odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y - piszemy symbolicznie: f: X → Y.

Jeśli f: X → Y, to element zbioru Y przyporządkowany przez przekształcenie f nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x lub obrazem elementu x przy przekształceniu f i oznaczamy f(x). Symbole f i f(x) mają różne znaczenie, pierwszy oznacza samą funkcję, drugi oznacza wartość funkcji dla argumentu x, czyli element zbioru Y.

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Zbiór D_f = X nazywamy dziedziną funkcji f, jeśli spełnia warunek
$x \in X \Leftrightarrow \underset{y \in Y}{\exists} y = f (x)$

Zbiór f(X) ⊂ Y nazywamy zbiorem wartości funkcji f, jeśli spełnia warunek
$y \in f (X) \Leftrightarrow \underset{x \in X}{\exists} y = f (x)$

Dziedzina funkcji to zbiór X tych elementów, dla których funkcja została zdefiniowana, a przeciwdziedzina to zbiór Y, do którego należą wartości funkcji, czyli zbiór tych elementów y zbioru Y, dla których istnieje x ∈ X, takie że y = f(x).

Ścisła definicja funkcji

Powyżej pojęcie funkcji wprowadzone jest intuicyjnie, ścisła definicja funkcji sformułowana za pomocą teorii mnogości pochodzi od G. Peano (1911 r.)

Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Jeżeli relacja dwuczłonowa f ⊂ X × Y spełnia następujący warunek:
jeżeli dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden element y ∈ Y, taki że x f y,
to relację tę nazywamy funkcją (odwzorowaniem).

Zapis x f y czytamy: x jest w relacji f z y lub zapisujemy (x, y)∈f. Tak określoną funkcję możemy ostatecznie zdefiniować:

Funkcją nazywamy zbiór f par (x, y), takich że $\underset{x \in X}{\forall} \underset{y_{1}, y_{2} \in Y}{\forall}$

Definicja ta mówi, ze każdy element dziedziny relacji f pozostaje w tej relacji tylko z jednym elementem zbioru Y. To jedyne y, które pozostaje z x w relacji f, czyli takie że x f y, oznaczamy symbolem f(x) i nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x. Wzór y = f(x) wyraża więc to samo co x f y.