Cechy podzielności liczb naturalnych
Czasem dzieląc jedną liczbę przez drugą, nie chcemy znać wyniku tego dzielenia, a jedynie wiedzieć czy liczba
ta dzieli się przez inną bez reszty. Są metody, które pozwalają takie dzielenia rozstrzygnąć nie
używając przy tym kalkulatora lub kartki z ołówkiem.
Właściwie metody te, zwane cechami podzielności powinny ograniczyć się do liczb pierwszych, gdyż cecha
podzielności liczby złożonej jest sumą cech podzielności jej czynników pierwszych.
Poniżej cechy podzielności początkowych liczb naturalnych.
Cecha podzielności przez 2
Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnią cyfrą jest: 2, 4, 6, 8 albo 0.
Przykład
Liczba 1234567890 jest podzielna przez 2, ponieważ jest parzysta.
Cecha podzielności przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3.
Przykład
Liczba 1234567890 jest podzielna przez 3, ponieważ suma cyfr: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45 jest podzielna przez 3.
Cecha podzielności przez 4
Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 lub jeśli dwukrotnie jest podzielna przez 2.
Przykład
Liczba 1234567890 nie jest podzielna przez 4, ponieważ liczba utworzona z ostatnich dwóch cyfr: 90 nie jest podzielna się przez 4.
Cecha podzielności przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5.
Przykład
Liczba 1234567890 jest podzielna przez 5, ponieważ ostatnia cyfra liczby to 0 albo 5.
Cecha podzielności przez 6
Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest parzysta i suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3.
Przykład
Liczba 1234567890 jest podzielna przez 6, ponieważ jest parzysta i suma cyfr: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45 jest podzielna przez 3.
Cecha podzielności przez 7
Metoda I
Liczba jest podzielna przez 7, jeśli różnica między liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi
danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) jest podzielna przez
7.
Aby dowiedzieć się czy liczba dzieli się przez 7 tą matodą, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry (o ile posiada)
i od tak powstałej liczby odejmujemy skreśloną. Jeżeli różnica dzieli się przez 7 - to liczba wyjściowa, także
dzieli się przez 7.
Przykład
Liczba 1234567890 nie jest podzielna przez 7, ponieważ suma 890 - 567 + 234 - 1 = 556 nie jest podzielna przez 7.
Metoda II
Chcąc sprawdzić, czy liczba dzieli się przez 7, oddzielamy dwie ostatnie cyfry tej liczby i z tak powstałej
liczby dwucyfrowej obliczamy resztę z dzielenia przez 7, po czym resztę zapamiętujemy lub zapisujemy.
Liczbę powstałą z pozostałych cyfr podwajamy i postępujemy z nią jak wyżej. Czynność powtarzamy tak długo,
aż wyczerpiemy wszystkie cyfry liczby. Wówczas sumujemy wszystkie powstałe reszty. Jeśli suma reszt jest
podzielna przez 7, to także liczba wyjściowa jest podzielna przez 7.
Cecha podzielności przez 8
Liczba jest podzielna przez 8, jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8
lub jeśli trzykrotnie jest podzielna przez 2.
Przykład
Liczba 1234567890 nie jest podzielna przez 8, ponieważ liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr 890 nie jest podzielna przez 8.
Cecha podzielności przez 9
Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9.
Przykład
Liczba 1234567890 jest podzielna przez 9, ponieważ suma cyfr 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45 jest podzielna przez 9.
Cecha podzielności przez 10
Liczba jest podzielna przez 10 jeśli jej ostatnią cyfrą jest zero.
Przykład
Liczba 1234567890 jest podzielna przez 10, ponieważ ostatnia jej cyfra to 0
Cecha podzielności przez 11
Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach
parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych (lub odwrotnie) dzieli się przez 11.
Przykład
Liczba 1234567890 nie jest podzielna przez 11, ponieważ różnica (1 + 3 + 5 + 7 + 9) - (2 + 4 + 6 + 8 + 0) = 5 nie jest podzielna przez 11.
