Podzielność liczb
Jednym z pierwszych problemów jakie dziecko spotyka na swojej drodze edukacji matematycznej jest zagadnienie podzielności w zbiorach liczb naturalnych i całkowitych. Podzielność jednej liczby przez drugą jest podstawowym pojęciem teorii liczb.
Mówimy że liczba całkowita n jest podzielna przez liczbę
całkowitą m, przy czym
m ≠ 0, jeśli istnieje liczba
całkowita k taka, że n = k · m.
Piszemy wówczas m|n i czytamy liczba m dzieli liczbę n, albo liczba n jest wielokrotnością liczby m.
Aby stwierdzić, że liczba n podzielna jest przez m wystarczy przedstawić liczbę w postaci n = k · m, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą. Ta uwaga jest często wykorzystywana w matematyce. Liczbę m nazywamy dzielnikiem liczby n. Należy również pamiętać, że każda liczba całkowita dzieli zero.
Nie zawsze dwie liczby całkowite można podzielić przez siebie bez reszty. Często zastanawiamy się czy dana liczba dzieli się przez inną z liczb bez reszty. Dlatego bardzo ważną własnością w dzieleniu liczb jest dzielenie z resztą.
Dla dowolnej liczby całkowitej n i dowolnej liczby
naturalnej m istnieje tylko jedna para liczb
całkowitych k i r taka, że
1. n = k · m + r,
2. 0 ≤ r < m
Liczbę k nazywamy ilorazem z dzielenia n przez m, a liczbę r - resztą tego dzielenia. Z twierdzenia tego wnioskujemy, że przy danej liczbie m każdą liczbę całkowitą n można zapisać w postaci n = k · m + r, gdzie r jest liczbą całkowitą mniejszą od m. Mówimy wówczas, że liczba n daje resztę r przy dzieleniu przez m. W szczególności, jeśli r = 0, to liczba n jest podzielna przez m.
Zagadnienia
Cechy podzielności liczb
Parzystość i nieparzystość
Największy wspólny dzielnik
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Kongruencja
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
Liczby zaprzyjaźnione
Chińskie twierdzenie o resztach