Podzielność liczb

Jednym z pierwszych problemów jakie dziecko spotyka na swojej drodze edukacji matematycznej jest zagadnienie podzielności w zbiorze liczb naturalnych i całkowitych. Podzielność jednej liczby przez drugą jest podstawowym pojęciem matematyki.

Mówimy że liczba całkowita n jest podzielna przez liczbę całkowitą m, przy czym m ≠ 0, jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że n = k · m.

Piszemy wówczas m|n i czytamy liczba m dzieli liczbę n, albo liczba n jest wielokrotnością liczby m.

Aby stwierdzić, że liczba n podzielna jest przez m wystarczy przedstawić liczbę w postaci n = k · m, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą. Ta uwaga jest często wykorzystywana w matematyce. Liczbę m nazywamy dzielnikiem liczby n. Należy również pamiętać, że każda liczba całkowita dzieli zero.

Dla dowolnej liczby całkowitej n i dowolnej liczby naturalnej m istnieje tylko jedna para liczb całkowitych k i r taka, że n = k · m + r, gdzie 0 ≤ r < m.

Liczbę k nazywamy ilorazem z dzielenia n przez m, a liczbę r - resztą tego dzielenia. Z twierdzenia tego wnioskujemy, że przy danej liczbie m każdą liczbę całkowitą n można zapisać w postaci n = k · m + r, gdzie r jest liczbą całkowitą mniejszą od m. Mówimy wówczas, że liczba n daje resztę r przy dzieleniu przez m. W szczególności, jeśli r = 0, to liczba n jest podzielna przez m.

Zagadnienia

Dzielniki i wielokrotności
Cechy podzielności liczb
Parzystość i nieparzystość
Największy wspólny dzielnik
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Kongruencja
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
Liczby zaprzyjaźnione
Chińskie twierdzenie o resztach