Podzielność liczb

Jednym z pierwszych problemów jakie dziecko spotyka na swojej drodze edukacji matematycznej jest zagadnienie podzielności w zbiorze liczb naturalnych i całkowitych. Podzielność jednej liczby przez drugą jest podstawowym pojęciem matematyki.

Mówimy że liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b, przy czym b ≠ 0, jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że a = k · b.

Zapisujemy wówczas b|a i mówimy, że liczba b jest dzielnikiem liczby a, albo liczba a jest wielokrotnością liczby b, albo że a jest podzielne (bez reszty) przez b.

Aby stwierdzić, że liczba a podzielna jest przez liczbę b wystarczy przedstawić liczbę w postaci a = k · b, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą. Ta uwaga jest często wykorzystywana w matematyce. Liczbę b nazywamy dzielnikiem liczby a.

Każda liczba całkowita jest dzielnikiem liczby 0, ponieważ dla każdej liczby całkowitej k mamy 0 = 0 · k. Liczba 1 ma tylko dwa dzielniki całkowite: 1 i -1.
Jeśli dla liczb całkowitych a i b prawdziwe jest a|b i b|a, to a = ±b, jeśli natomiast liczby a i b są naturalne to z a|b i b|a wynika a = b.

Jeśli a|b, to także -a|b. Wynika stąd, że do wyznaczenia wszystkich dzielników całkowitych liczby całkowitej a wystarczy wyznaczyć wszystkie jej dzielniki naturalne d i dołączyć dzielniki -d.
Przez liczbę dzielników liczy całkowitej rozumiemy liczbę jej dzielników naturalnych.

Zagadnienia

Twierdzenia
Dzielenie z resztą
Dzielniki i wielokrotności
Cechy podzielności liczb
Parzystość i nieparzystość
Największy wspólny dzielnik
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Kongruencja

Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
Liczby zaprzyjaźnione
Chińskie twierdzenie o resztach