Dzielenie z resztą

Dla dowolnej liczby całkowitej a i dowolnej liczby naturalnej b istnieje tylko jedna para liczb całkowitych k i r taka, że

a = k · b + r, gdzie 0 ≤ r < b

Liczbę k nazywamy ilorazem z dzielenia a przez b, a liczbę r - resztą tego dzielenia.

Z twierdzenia tego wnioskujemy, że przy danej liczbie b każdą liczbę całkowitą a można zapisać w postaci a = k · b + r, gdzie r jest liczbą całkowitą mniejszą od b. Mówimy wówczas, że liczba a daje resztę r przy dzieleniu przez b. W szczególności, jeśli r = 0, to liczba a jest podzielna przez b.

Przykłady:
13 : 5 = 2, reszty 3, bo 13 = 2 · 5 + 3
20 : 6 = 3, reszty 2, bo 20 = 3 · 6 + 2
100 : 15 = 6, reszty 10, bo 100 = 6 · 15 + 10


Podzielność liczb ujemnych

Według powyższej definicji, w której liczba a jest dowolną liczbą całkowitą, a dzielnik b jest liczbą naturalną, reszta r z dzielenia liczby ujemnej a przez liczbę dodatnią b będzie dodatnia. Należy znaleĽć zatem taką parę liczb całkowitych k i r, gdzie a = k · b + r oraz 0 ≤ r < b.

Przykład:
-12 : 5 = -3, reszty 3, bo -12 = -3 · 5 + 3
Iloraz k równy jest -3, reszta r = 3.
Dla tak określonej pary k i r dzielenie zostało wykonane zgodnie z definicją.

Jeśli przyjęlibyśmy, że reszta z dzielenia liczby całkowitej a przez inną liczbę całkowitą b może być liczbą ujemną, to prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Np. dzielenie: -14 : 5 można byłoby zapisać dwojako:
-14 : 5 = -2, reszty -4
albo
-14 : 5 = -3, reszty 1

W myśl definicji drugie działanie zostało wykonane poprawnie, zatem reszta z dzielenia liczby -14 przez liczbę 5 wynosi 1.

Dla dzielnika całkowitego rozszerzmy pierwszą definicję.
.

Dla liczb całkowitych a i b ≠ 0 istnieje jedna i tylko jedna para liczb całkowitych k i r taka, że

a = k · b + r, gdzie 0 ≤ r < |b|

Liczbę a nazywamy dzielną, liczbę b - dzielnikiem, k - iorazem i liczbę r - resztą.

Powyższa definicja jednoznacznie określa, że reszta z dzielenia liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b musi być liczbą naturalną mniejszą od wartości bezwzględnej liczby b.

Przykłady
13 : (-5) = -2, reszty 3, bo 13 = (-2) · (-5) + 3
-13 : 5 = -3, reszty 2, bo -13 = (-3) · 5 + 2
-13 : (-5) = 3, reszty 2, bo -13 = 3 · (-5) + 2


Kalkulator podzielności dwóch liczb w zbiorze liczb całkowitych.

:   


W niektórych podręcznikach podaje się wzór na resztę z dzielenia liczby a przez liczbę b (zapisujemy a mod b)
a mod b = a-[ab]·b, gdzie [] - oznacza część całkowitą z liczby.

Według definicji wzór ten jest prawdziwy dla b > 0.


Test - dzielenie z resztą (SP)

matematyka » arytmetyka » podzielność liczb » dzielenie z resztą




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 75 drukuj