Ciąg arytmetyczny (postęp arytmetyczny)

Ciąg arytmetyczny

Ciąg liczbowy, w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym. Różnicę r = a_n+1 - a_n nazywamy różnicą ciągu.

Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r, zwanej różnicą ciągu.
$\underset{r \in R}{\exists} \underset{n \in N}{\forall} a_{n + 1} = a_{n} + r$

N-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Na podstawie definicji ciągu arytmetycznego istnieje zależność między wyrazami taka, iż każdy następny wyraz ciągu powstaje poprzez dodanie do bezpośrednio go poprzedzającego stałej wartości r, oznacza to, że istnieje również zależność między pierwszym a dowolnym wyrazem ciągu wyrazająca się wzorem
a_n = a₁ + (n - 1)r

Suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
Suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i n-tego pomnożona przez liczbę wyrazów n. $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$

Monotoniczność ciągu
Ciąg arytmetyczny jest zawsze ciągiem monotoniczmym - rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ona ujemna, lub stałym, gdy jest ona równa 0.

Ciąg arytmetyczny

Matematyka