Ciąg geometryczny (postęp geometryczny)

Ciąg geometryczny

Ciąg liczbowy, w którym iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym. Iloraz $q = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ nazywamy ilorazem ciągu.

Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą q zwaną ilorazem ciągu.
$\underset{r \in R}{\exists} \underset{n \in N}{\forall} a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$

N-ty wyraz ciągu geometrycznego
Na podstawie definicji ciągu geometrycznego istnieje zależność między wyrazami taka, iż każdy następny wyraz ciągu powstaje poprzez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą q, a więc istnieje również zależność między pierwszym a dowolnym wyrazem ciągu wyrazająca się wzorem
a_n = a₁ · q^{n - 1} dla n ≥ 2

Suma n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Suma n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym a₁ i ilorazie q, wyraża się wzorem
$S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ dla q ≠ 1
S_n = na₁ dla q = 1

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Ciąg jest rosnący wtedy gdy:
q > 0 i a₁ > 0 lub q ∈ (0, 1) i a₁ < 0

Ciąg jest malejący wtedy gdy:
q > 0 i a₁ < 0 lub q ∈ (0, 1) i a₁ > 0

Ciąg jest stały wtedy gdy:
q = 1 lub a₁ = 0

Jeśli iloraz q jest ujemny to ciąg geometryczny jest naprzemienny.
Ciąg geometryczny jest zbieżny do zera, jeżeli jego iloraz jest ułamkiem właściwym tzn. należy do przedziału (-1, 1).

Ciąg geometryczny

Matematyka