logowanie

matematyka » analiza » ciągi » ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Ciąg liczbowy, w którym iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

Ciąg liczbowy $(a_n)$ nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą $q$ zwaną ilorazem ciągu.
$$\exists_{q \in R} \forall_{n \in N} a_{n + 1} = a_n \cdot q$$ Iloraz $q = \frac{a_{n + 1}}{a_n}$ nazywamy ilorazem ciągu.

Przykłady ciągów geometrycznych
$1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $2$.
$4, 4, 4, 4, 4, 4, \ldots$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $1$.
$1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \ldots$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $\frac{1}{3}$.

$N$-ty wyraz ciągu geometrycznego
Na podstawie definicji ciągu geometrycznego istnieje zależność między wyrazami taka, że każdy następny wyraz ciągu powstaje poprzez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą $q$, a więc istnieje również zależność między pierwszym a dowolnym wyrazem ciągu wyrażająca się wzorem
$$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}   \text{dla}   n \ge 2$$

Suma $n$-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym $a_1$ i ilorazie $q$, wyraża się wzorem
$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{a_1(1 - q^n )}{1 - q}$,   dla $q \neq 1$
$S_n = a_1 \cdot n$,   dla $q = 1$

Monotoniczność ciągu geometrycznego
Ciąg jest rosnący wtedy, gdy $q \gt 1$ i $a_1 \gt 0$ lub $q \in (0, 1)$ i $a_1 \lt 0$
Ciąg jest malejący wtedy, gdy $q \gt 1$ i $a_1 \lt 0$ lub $q \in (0, 1)$ i $a_1 \gt 0$
Ciąg jest stały wtedy, gdy $q = 1$ lub $a_1 = 0$

Jeśli iloraz $q$ jest ujemny to ciąg geometryczny jest naprzemienny.
Ciąg geometryczny jest zbieżny do zera, jeżeli jego iloraz jest ułamkiem właściwym tzn. należy do przedziału $(-1; 1)$.





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj