logowanie

Ciągłość funkcji

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu x₀.

Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x₀, jeżeli istnieje jeje granica w tym punkcie i ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)}$.

Ciągłość funkcji f w punkcie x₀ można zdefiniować na podstawie definicji Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w tym punkcie i otrzymać w ten sposób dwie równoważne definicje.

Definicja Heinego
Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach x_n∈U, zbieżnego do x₀
                ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x_n\right)=f\left(x_0\right)}$.

Definicja Cauchy'ego
Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy, i tylko wtedy, gdy
                ${\displaystyle \underset{\epsilon >0}{\forall }\underset{\delta >0}{\exists }\underset{x}{\forall }\left(\right|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f\left(x\right)-f\left(x_0\right)|<\epsilon )}$.

Każdy punkt x₀, w którym funkcja f jest ciągła nazywa się punktem ciągłości funkcji. Funkcja f(x) nazywa się funkcją nieciągłą, jeśli nie jest funkcją ciągłą, w co najmniej jednym punkcie swojej dziedziny.

Funkcja f jest ciągła w przedziale otwartym (a, b), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie x₀∈(a, b)

Funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>, jeżeli spełnia następujące warunki:
   -    jest ciągła w (a, b),
   -    ${\displaystyle \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)}$    (funkcja prawostronnie ciągła w punkcie a),
   -    ${\displaystyle \underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)}$    (funkcja lewostronnie ciągła w punkcie b).

Funkcja f jest ciągła w przedziale X wtedy i tylko wtedy, gdy
${\displaystyle \underset{\epsilon >0}{\forall }\underset{x_0\in X}{\forall }\underset{\delta (\epsilon ,x_0)}{\exists }\underset{x\in X}{\forall }\left(\right|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)|<\epsilon )}$.

© 2024 math.edu.pl      kontakt