logowanie

matematyka » analiza » granica i ciągłość funkcji » ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu x0.

Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0, jeżeli istnieje jeje granica w tym punkcie i lim xx0 f(x) = f(x0) .

Ciągłość funkcji f w punkcie x0 można zdefiniować na podstawie definicji Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w tym punkcie i otrzymać w ten sposób dwie równoważne definicje.

Definicja Heinego
Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xnU, zbieżnego do x0
                lim xx0 f(xn) = f(x0) .

Definicja Cauchy'ego
Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy, i tylko wtedy, gdy
                ε>0 δ>0 x ( |x-x0| <δ |f(x)- f(x0) |<ε ) .

Każdy punkt x0, w którym funkcja f jest ciągła nazywa się punktem ciągłości funkcji. Funkcja f(x) nazywa się funkcją nieciągłą, jeśli nie jest funkcją ciągłą, w co najmniej jednym punkcie swojej dziedziny.

Funkcja f jest ciągła w przedziale otwartym (a, b), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie x0∈(a, b)

Funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>, jeżeli spełnia następujące warunki:
   -    jest ciągła w (a, b),
   -    lim xa+ f(x) = f(a)    (funkcja prawostronnie ciągła w punkcie a),
   -    lim xb- f(x) = f(b)    (funkcja lewostronnie ciągła w punkcie b).

Funkcja f jest ciągła w przedziale X wtedy i tylko wtedy, gdy
ε>0 x0X δ(ε,x0) xX ( |x1-x2| <δ |f(x1)- f(x2) |<ε ) .





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 42 drukuj