Dwumian Newtona (wzór Newtona)

Dwumian Newtona

Dla każdych liczb rzeczywistych a i b oraz dla każdej liczby naturalnej n zachodzi:
${(a + b)}^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) a^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) a^{n - 1} b + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) a^{n - 2} b^{2} + ... + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) b^{n}$
${(a + b)}^{n} = \overset{n}{\sum_{k = 0}} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k} b^{k}$

Wzór ten nazywamy wzorem Newtona lub dwumianem Newtona. Korzystając z powyższych wzorów możemy wyprowadzić wzór na dowolną n-tą potęgę sumy.

Poniżej wzory dla kilku początkowych wartości n:
(a ± b)⁰ = 1
(a ± b)¹ = a ± b
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
(a ± b)⁴ = a⁴ ± 4a³b + 6a²b² ± 4ab³ + b⁴