logowanie

matematyka » algebra » wyrażenia algebraiczne » dwumian Newtona

Dwumian Newtona

Dla każdych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ oraz dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi:
${(a + b)}^n = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n - 1} b + \binom{n}{2} a^{n - 2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n} b^n$
${(a + b)}^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k$

Wzór ten nazywamy wzorem Newtona lub dwumianem Newtona. Korzystając z powyższych wzorów możemy wyprowadzić wzór na dowolną $n$-tą potęgę sumy.

Poniżej wzory dla kilku początkowych wartości $n$:
$(a \pm b)^0 = 1$
$(a \pm b)^1 = a \pm b$
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
$(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$

Współczynniki liczbowe dla $n$-tej potęgi sumy możemy wyznaczyć za pomocą trójkąta Pascala.

      0                     1
      1                   1   1
      2                 1   2   1
      3               1   3   3   1
      4             1   4   6   4   1
      5           1   5   10  10  5   1
      6         1   6   15  20  15  6   1
      7       1   7   21  35  35  21  7   1
            . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kolejnym wierszom trójkąta odpowiadają kolejne wartości $n$, kolejnym wyrazom w każdym wierszu opowiadają współczynniki liczbowe przy odpowiedniej potędze. Zgodnie z własnościami każdy wiersz zaczyna się i kończy liczbą $1$, a każda liczba wewnątrz wiersza jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią.





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 79 drukuj